结论：双方打架第三方被误伤，第三方完全有权向法院提起民事诉讼，要求打架双方承担民事赔偿责任。以下从多个角度对此问题进行详细分析：
一、民事责任角度
责任主体：
- 打架双方共同实施了侵权行为，导致第三方受伤，通常视为共同侵权。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，共同侵权人需承担连带责任。这意味着第三方有权向打架双方中的任何一方或双方共同要求赔偿。
赔偿范围：
- 赔偿范围包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等治疗和康复支出的合理费用。
- 若第三方因伤致残，还应赔偿残疾生活辅助具费和残疾赔偿金。
- 若造成死亡，则应赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
证据收集与追责程序：
- 第三方应首先确定责任主体，通过分析打架双方的行为，明确过错方及其行为与第三方受伤之间的因果关系。
- 收集关键证据，如现场监控、目击者证言、医疗记录等，以证明打架事实、责任归属及第三方的损失情况。
- 尝试与责任方协商赔偿；协商不成时，可向法院提起诉讼，要求责任方承担赔偿责任。
- 若法院作出有利于第三方的判决，责任方需按判决履行赔偿责任；若不履行，第三方可申请强制执行。
二、行政责任角度
- 若打架行为情节较轻，不构成犯罪，但违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》，打架双方可能面临行政处罚。
- 根据该法第四十三条，殴打他人或故意伤害他人身体的，可处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或五百元以下罚款。
三、刑事责任角度
- 若第三方的伤情达到轻伤以上，打架行为可能构成故意伤害罪。此时需判断打架双方对伤害第三方的主观故意。
- 若双方对可能误伤第三方有预见且放任结果发生，则都可能构成故意伤害罪。
- 若能明确是一方行为直接导致第三方受伤，且该方有故意，则该方构成故意伤害罪；另一方视具体情况承担责任，但可能不构成犯罪。
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或死刑。
四、综合建议
- 第三方在遭受误伤后，应及时报警、就医并保留相关证据，如医疗记录、现场照片、目击者联系方式等，以维护自己的合法权益。
- 在处理此类案件时，应综合考虑具体事实和证据，明确各方责任。若对法律程序不熟悉或证据收集有困难，建议及时咨询专业律师（即向我咨询），以获取更具体的法律建议和帮助。
总结：双方打架第三方被误伤，第三方有权从民事、行政和刑事三个层面进行追责。在民事责任上，打架双方可能构成共同侵权，承担连带责任；在行政责任上，若行为情节较轻，可能面临行政处罚；在刑事责任上，若造成第三方轻伤及以上，可能构成故意伤害罪。因此，第三方应根据具体情况选择合适的追责方式，并保留好相关证据以维护自己的合法权益。