结论：因为拒绝连续加班被开除是否违法，需根据具体情况判断。以下从不同角度进行分析：

1. 一般情况下的加班与解除劳动合同

   • 根据《中华人民共和国劳动法》第四十一条，用人单位因生产经营需要与工会和劳动者协商后可延长工作时间，但有限制条件，即每日不得超过一小时，特殊情况下不得超过三小时，每月累计不得超过三十六小时。这表明，加班需基于双方协商一致。
   • 若用人单位未经协商，直接以劳动者不加班为由解除劳动合同，违反《中华人民共和国劳动合同法》，构成违法解除。按照该法第八十七条，用人单位应支付赔偿金，标准为经济补偿金的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

2. 特殊情形下的加班与解除劳动合同

   • 《中华人民共和国劳动法》第四十二条规定了不受加班时间限制的特殊情况，包括自然灾害、事故紧急处理、生产设备故障抢修等，以及法律、行政法规规定的其他情形。在这些情形下，劳动者可能无法拒绝加班。
   • 然而，即使在这些特殊情况下，用人单位也不能直接以劳动者不加班为由开除，仍需考虑解除行为的合法性和合理性。若用人单位以此为由开除劳动者，劳动者仍有权要求用人单位支付违法解除劳动合同的赔偿金。

3. 劳动合同中的加班条款与解除劳动合同

   • 如果劳动合同中明确约定了加班是工作的一部分，或者劳动者需配合加班，并且用人单位提供了合理的加班费或调休安排，那么劳动者拒绝加班可能影响其就业状态。但即便如此，用人单位也不能直接以劳动者不加班为由解除劳动合同，除非劳动合同中有明确且合法的约定，且用人单位在解除劳动合同时遵循了法定程序。
   • 在这种情况下，若用人单位依据劳动合同条款解除劳动合同，仍需确保解除过程符合法律法规，避免滥用权利。若用人单位违法解除，劳动者同样有权要求支付赔偿金。

法律建议：

• 劳动者：如遇因拒绝连续加班被开除的情况，应先与用人单位协商解决，要求用人单位说明开除理由，并保留相关证据。协商不成时，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。在申请劳动仲裁时，应提供充分的证据证明用人单位违法解除劳动合同，如劳动合同、加班记录、开除通知等。
• 用人单位：在要求劳动者加班时，应确保遵守相关法律法规，与劳动者进行充分协商，并提供合理的加班费或调休安排。在解除劳动合同时，必须确保行为合法，遵循法定程序，避免不必要的法律风险。

可能法律后果：

• 若用人单位违法解除劳动合同，劳动者有权要求用人单位支付赔偿金，赔偿金标准为经济补偿金的二倍。
• 若用人单位的行为构成严重违法，如强迫劳动、侮辱体罚劳动者等，劳动者还有权向有关部门举报，并要求用人单位承担相应的法律责任。

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