面对公司开除员工且不给予赔偿金的情况，您确实有多种法律途径可以维护自己的合法权益。以下是我为您详细梳理的维权步骤和建议：
一、明确法律基础与辞退理由
首先，您需要了解《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。根据法律，用人单位在解除或终止劳动合同时，除非员工存在严重违反规章制度、严重失职等特定情形，否则应当依法向劳动者支付经济补偿金。因此，您需要对照法律法规，判断公司的辞退理由是否合法合理。如果公司以不合理或不合法的借口辞退您且不支付赔偿金，那么公司的行为很可能违法。
二、尝试友好协商解决
在明确公司行为可能违法后，我建议您首先尝试与公司进行友好协商。您可以通过面对面沟通或书面函件等方式，明确指出公司开除行为可能存在的违法或不合理之处，并要求公司按照法律规定给予相应的赔偿。在协商过程中，请保持冷静和理性，避免情绪化表达，同时准备好劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、开除通知等相关证据材料以支持自己的主张。
三、积极收集关键证据
如果协商无果，您需要积极收集支持自己主张的证据。这些证据包括但不限于：
四、申请劳动调解或仲裁
劳动调解：您可以向当地的劳动争议调解委员会提出调解申请。调解委员会将安排专业调解人员介入，促使双方就赔偿金问题进行协商。调解具有灵活性和高效性，有助于快速解决纠纷。
劳动仲裁：如果调解无果，您应向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在提交仲裁申请书时，请写明双方的基本信息、仲裁请求（如要求公司支付的具体经济赔偿金额）、事实和理由，并附上相关证据材料。仲裁委员会将安排开庭审理，并根据事实和法律作出裁决。如果仲裁结果支持您的诉求，公司将需按照裁决结果支付相应赔偿。
五、必要时提起诉讼
如果您对仲裁结果不满意，可以在规定时间内向人民法院提起诉讼。法院将按照民事诉讼程序进行审理，并作出公正判决。一旦法院判决公司支付赔偿金，而公司仍不履行，您可以申请法院强制执行。
六、向劳动监察部门投诉
除了上述途径外，您还可以选择向当地劳动监察部门投诉举报公司的违法行为。劳动监察部门将依法进行调查处理，并可能对公司进行行政处罚。
七、了解赔偿标准
在维权过程中，了解赔偿标准也非常重要。如果公司违法解除或终止劳动合同，应依照经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金。此外，如果公司未提前三十日以书面形式通知您或额外支付一个月工资后解除劳动合同，还需向您额外支付一个月工资作为代通知金。
总结与建议
面对公司开除且不赔偿的情况，我建议您保持冷静，依法行事。通过多渠道、多途径维护自己的合法权益。同时，建议您在平时工作中注意保留相关证据，如劳动合同、工资支付记录、考勤记录等，以便在需要时能够有力地支持自己的主张。如果感到困惑或无助，可以随时寻求法律援助机构的帮助。希望这些建议能对您有所帮助。