公司在此类事件中的责任需根据具体情况分析，但通常公司需承担一定责任，具体责任大小取决于多个因素。以下是从不同角度进行的详细分析：
一、公司责任的基础：劳动关系与雇主责任
劳动关系确认：
- 首先，需确认摔伤的司机是否为公司员工，即双方是否存在劳动关系。若存在劳动关系，则公司作为雇主，对员工在工作过程中受到的伤害负有法定责任。
雇主责任原则：
- 根据《中华人民共和国民法典》及相关劳动法规，雇主对员工在工作过程中因工作原因受到的伤害，应承担相应的赔偿责任。这包括医疗费、误工费、残疾赔偿金等。
二、公司责任的具体分析：
工作相关性：
- 若摔伤事件发生在司机执行工作任务的过程中，如帮忙盖篷布是工作的一部分或与工作密切相关，则公司很可能需承担全部或主要责任。
安全保障义务：
- 公司有义务为员工提供安全的工作环境，并采取必要的措施防止事故发生。若公司未履行此义务，如未提供安全设备、未进行安全培训等，则公司需承担相应责任。
员工过错程度：
- 若摔伤是由于员工自身的过错（如疏忽大意、违反操作规程等）导致的，则公司责任可能相应减轻。但需注意，员工过错并不完全免除公司的责任，公司仍需承担与其过错程度相适应的责任。
第三方因素：
- 若摔伤事件涉及第三方（如篷布质量不合格、其他员工故意或过失行为等），则公司责任可能因第三方因素而有所变化。此时，需根据具体情况分析公司、员工和第三方之间的责任划分。
三、法律建议与后续行动：
及时报告与调查：
- 公司应立即报告事故，并展开内部调查，以明确事故原因和责任划分。这有助于后续处理赔偿事宜和防止类似事件再次发生。
协商与赔偿：
- 根据调查结果，公司应与受伤员工或其家属进行协商，就赔偿事宜达成一致。若协商无果，可寻求法律途径解决。
完善安全管理制度：
- 公司应借此机会完善安全管理制度，加强员工安全培训，提高员工安全意识，以减少类似事件的发生。
针对此情况，公司应首先确认与受伤司机的劳动关系，并评估事故与工作任务的关联性。同时，公司需审查自身是否履行了安全保障义务，并考虑员工过错程度及第三方因素对责任的影响。最后，公司应根据具体情况与受伤员工或其家属进行协商，并考虑完善安全管理制度以防止类似事件再次发生。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。