结论：在此情况下，商家是否需要退款取决于多个因素，包括未成年人的年龄、所提供的服务性质以及商家是否尽到了合理的注意义务等。以下是对此问题的详细分析：

1. 未成年人的年龄与民事行为能力

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，未成年人的民事行为能力与其年龄直接相关。八周岁以下的未成年人为无民事行为能力人，其实施的民事法律行为无效；八周岁以上不满十八周岁的未成年人为限制民事行为能力人，其实施的民事法律行为，经法定代理人同意或者追认后有效。
   • 如果做头发的未成年人属于无民事行为能力人，那么其付款行为是无效的，商家应当退款。如果属于限制民事行为能力人，且家长不同意其做头发的行为，那么该行为在未经家长追认的情况下也是无效的，商家同样应当退款。

2. 服务的性质与商家的注意义务

   • 商家在提供服务时，有义务对顾客的年龄和民事行为能力进行合理的判断。特别是对于涉及未成年人消费的服务，商家应当更加谨慎，确保服务内容符合未成年人的身心特点和法律要求。
   • 如果商家在提供服务前未对未成年人的年龄进行核实，或者明知是未成年人仍提供与其年龄、民事行为能力不相适应的服务，那么商家可能存在一定的过错，应当承担相应的责任，包括退款等。

3. 家长的态度与后续处理

   • 家长作为未成年人的法定代理人，对未成年人的民事行为享有追认或拒绝的权利。如果家长不同意未成年人做头发的行为，并要求商家退款，商家应当考虑家长的合理诉求，并积极协商解决。
   • 在处理此类纠纷时，商家和家长可以尝试通过协商、调解等方式解决争议。如果协商无果，家长也可以考虑通过法律途径维护未成年人的合法权益。

建议：

• 对于商家而言，在提供涉及未成年人的服务时，应当加强年龄核实和民事行为能力判断，确保服务内容合法合规。同时，在遇到家长要求退款等纠纷时，应当积极与家长沟通协商，寻求妥善解决方案。
• 对于家长而言，应当加强对未成年人的监护和教育，引导其树立正确的消费观念。在发现未成年人有不当消费行为时，应当及时与商家沟通并要求退款等合理诉求。

后续行动：

• 如果商家拒绝退款或双方无法达成一致意见，家长可以考虑向消费者协会投诉或寻求法律援助，通过法律途径维护未成年人的合法权益。
• 在处理此类纠纷时，建议保留好相关证据（如付款凭证、服务合同等），以便在需要时提供证明。

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