被留置人员供出行贿人后，监察机关通常会立即或尽快展开调查，但具体是否立即行动需结合案件实际情况判断。以下从多个角度为你详细分析：
一、监察机关的调查程序与留置措施的性质
根据《中华人民共和国监察法》及相关规定，留置是监察机关对涉嫌严重职务违法或职务犯罪的被调查人采取的强制措施，目的是确保调查工作的顺利进行。在留置期间，监察机关会全面收集证据，包括被留置人员的供述、证人证言、书证、物证等。若被留置人员供出行贿人，这属于重要线索，监察机关通常会高度重视，并尽快展开调查，以核实线索的真实性，并进一步查清案件事实。
二、调查的及时性取决于多种因素
线索的明确性与可信度：
- 如果被留置人员提供的行贿人信息具体、明确，且监察机关认为可信度较高，那么调查很可能会迅速展开。
- 如果线索模糊或存在疑问，监察机关可能会先进行初步核实，再决定是否展开全面调查。
案件的复杂性与紧迫性：
- 对于涉及重大职务犯罪或社会影响广泛的案件，监察机关可能会优先处理，加快调查进度。
- 如果案件相对简单或涉及金额较小，调查进度可能会相对缓慢，但也会在合理期限内完成。
调查资源的分配：
- 监察机关在调查过程中需要合理分配人力、物力等资源。如果同时处理多个案件或线索，可能会根据优先级进行资源调配。
三、调查过程中的法律程序与保障
依法调查：
- 监察机关在调查过程中必须严格遵守法定程序，确保调查的合法性和公正性。
- 这包括保障被调查人的合法权益，如知情权、申辩权等。
保密措施：
- 监察机关在调查过程中会采取必要的保密措施，以防止线索泄露或影响调查工作的顺利进行。
- 这包括对调查人员、调查过程、调查结果等的保密。
四、对被供出行贿人的可能影响
行贿人可能面临法律责任：
- 如果行贿行为被查实，行贿人可能面临刑事处罚，如有期徒刑、罚金等。
- 即使行贿人未被直接查实，但如果其行贿行为与职务犯罪有关联，也可能受到相应的法律制裁。
行贿人的配合与态度：
- 行贿人在调查过程中的配合程度和态度会影响调查的进度和结果。
- 如果行贿人主动交代问题、配合调查，可能会获得从轻或减轻处罚的机会。
五、建议与注意事项
保持冷静与配合：
- 如果被留置或涉及相关案件，应保持冷静，积极配合监察机关的调查工作。
- 不要试图隐瞒或歪曲事实，以免加重法律责任。
及时咨询专业律师：
- 在涉及职务犯罪等复杂法律问题时，应及时咨询专业律师，以了解自己的权利和义务。
- 律师可以提供法律建议、协助调查、代理申诉等法律服务。
关注案件进展与结果：
- 在调查过程中，应关注案件的进展和结果，及时了解自己的法律地位和可能面临的法律责任。
- 如果对调查结果有异议，可以依法提出申诉或申请复议。
最后，如果你或你身边的人涉及此类问题，有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据你的具体情况，提供专业的法律意见和帮助。