结论：行政案件立案60天如果遇上春节法定节假日，申请行政复议和提起诉讼的期限是否可以延期，需根据具体情况判断。一般来说，行政复议和行政诉讼的期限不会因法定节假日而自动顺延，但存在特殊情况或地方性规定的除外。以下是对此问题的详细分析：
一、行政复议期限
一般规定：
- 根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，公民、法人或者其他组织认为具体行政行为侵犯其合法权益的，可以自知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请。
期限顺延情况：
- 特殊情况：如果因不可抗力或者其他正当理由耽误法定申请期限的，申请期限自障碍消除之日起继续计算。春节法定节假日通常不被视为不可抗力，但如果是因春节期间无法正常提交申请（如行政机关放假、邮寄服务中断等），且能提供充分证据证明，可能构成“其他正当理由”。
- 地方性规定：部分地方性法规或规章可能对行政复议期限有特别规定，如明确节假日顺延等。因此，在具体案件中，需查阅当地的相关规定。
二、行政诉讼期限
一般规定：
- 根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，公民、法人或者其他组织直接向人民法院提起诉讼的，应当自知道或者应当知道作出行政行为之日起六个月内提出。法律另有规定的除外。对于经过行政复议的案件，如果复议机关决定维持原行政行为，或者复议机关逾期不作决定的，申请人可以在收到复议决定书之日起十五日内，或者复议机关逾期不作决定的，在复议期满之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
期限顺延情况：
- 法定顺延：在行政诉讼中，如果最后一日是节假日，那么期限会顺延至节假日后的第一个工作日。但这一规定主要适用于诉讼期间的最后一日，而非整个诉讼期间。
- 特殊情况：与行政复议类似，如果因不可抗力或者其他正当理由耽误法定起诉期限的，在障碍消除后十日内，可以申请顺延期限。春节法定节假日通常不被视为不可抗力，但如果是因春节期间无法正常提交起诉材料（如法院放假、邮寄服务中断等），且能提供充分证据证明，可能构成“其他正当理由”。
三、实际操作建议
提前准备：
- 鉴于行政复议和行政诉讼的期限性较强，建议当事人在知道或应当知道行政行为之日起，尽快准备相关材料并提交申请或起诉，以避免因节假日等因素导致期限延误。
咨询当地机关：
- 在具体案件中，如果担心节假日会影响期限的计算，可以咨询当地行政复议机关或人民法院，了解是否有特殊规定或操作方式。
保留证据：
- 如果因节假日等原因确实导致期限延误，应保留好相关证据（如邮寄凭证、行政机关放假通知等），以便在后续程序中证明延误的合理性。
如有具体法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。