在处理庭审中新出现的证据这一问题时，我们首先要明确的是，其处理方式会依据案件的性质（民事、刑事、行政）以及所处的诉讼阶段（一审、二审、再审或生效判决后）而有所不同。以下是一个详细且有条理的解答：
一、民事诉讼中的处理
二审期间提交新证据
- 如果案件还在二审期间，当事人应及时将新证据提交给二审法院。法院会根据证据规则来决定是否采纳这些新证据。但需要注意的是，逾期提供证据可能会面临训诫、罚款等处罚，故意逾期提供的证据甚至可能不被采纳。
申请再审
- 若案件已经生效，且当事人发现了新的证据，这些证据需满足一定条件：即原审庭审结束前已存在但庭审结束后新发现的，或因客观原因无法取得/在规定期限内不能提供的。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人可以在知道或应当知道新证据存在之日起六个月内，向作出生效裁判的上一级人民法院提出再审申请，并提交再审申请书和新证据等材料。
另行起诉
- 如果新证据涉及的事实与原案件不是同一法律关系，或者不满足再审条件但符合起诉条件，当事人可以考虑另行起诉。
二、刑事诉讼中的处理
申诉
- 在刑事诉讼中，如果当事人或辩护人发现了新的证据，这些证据证明原判决、裁定认定事实确有错误，可能影响定罪量刑的，可以向人民法院或人民检察院提出申诉。申诉应在法定期限内提出，并提交申诉状和新证据等材料。
检察机关依职权启动再审
- 人民检察院在履行法律监督职责中，如果发现新证据足以影响原判决、裁定的准确性，可以依职权向人民法院提出抗诉，启动再审程序。
特殊情形处理
- 如果辩护人新收集了有关犯罪嫌疑人不在犯罪现场、未达到刑事责任年龄、属于依法不负刑事责任的精神病人的证据，应及时告知公安机关、人民检察院。
三、行政诉讼中的处理
申请再审
- 在行政诉讼中，如果当事人发现了新的证据，且这些证据足以推翻原判决、裁定的，可以根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，在知道或应当知道新证据存在之日起六个月内，向作出生效裁判的上一级人民法院申请再审。
检察机关监督
- 人民检察院在履行职责过程中，如果发现新证据足以影响原行政判决、裁定的正确性，可以向人民法院提出抗诉或检察建议，促使法院启动再审程序。
四、新证据的审查原则
无论在哪种诉讼中，法院或检察院对新证据的审查都会围绕其真实性、合法性和关联性进行。需要确认证据是否真实存在、获取方式是否合法、与案件事实关联程度如何，以及是否足以推翻原判决、裁定。
五、建议与注意事项
- 当事人在发现新证据后，应及时咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助。
- 提交新证据时，应附上详细说明材料，阐述证据的来源、内容及其对案件的影响。
- 遵守法定的时限和程序要求，确保新证据能够得到及时、有效的审查和处理。
综上所述，庭审中新出现的证据的处理是一个复杂且需谨慎对待的问题。当事人应根据案件具体情况和法律规定，选择合适的方式提交新证据并寻求救济。