针对您提出的“法定无民事行为能力人的监护人故意不告知近亲属其下落”的问题，这确实是一个涉及法律权益保护的重要议题。以下是我为您提供的详细解答：
一、无民事行为能力人的认定与监护人指定
首先，我们需要明确无民事行为能力人的定义。根据《中华人民共和国民法典》的规定，无民事行为能力人主要包括不满八周岁的未成年人，以及八周岁以上但不能辨认自己行为的未成年人或成年人。对于这类人群，为了保护其人身和财产权益，法律会指定监护人来代为行使民事权利和履行民事义务。
监护人的指定通常遵循一定的顺序，首先是配偶，其次是父母、子女，再次是其他近亲属，最后是其他愿意担任监护人的个人或组织（但需经被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或民政部门同意）。
二、监护人故意不告知近亲属下落的法律问题
当监护人故意不告知近亲属无民事行为能力人的下落时，这可能构成对监护职责的违反。监护人的职责不仅包括代理被监护人实施民事法律行为，还包括保护被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益。故意隐瞒被监护人的下落，可能损害被监护人的利益，也违反了监护人的基本职责。
三、近亲属的救济途径
面对这种情况，近亲属可以采取以下措施来维护被监护人的权益：
与监护人沟通：首先尝试与监护人进行沟通，了解被监护人的具体情况，并要求监护人履行其职责。
向有关组织求助：如果沟通无果，近亲属可以向被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或民政部门等有关组织求助。这些组织有权对监护人的行为进行监督，并在必要时采取措施保护被监护人的权益。
向法院申请变更监护人：如果监护人的行为严重损害了被监护人的利益，近亲属可以向法院申请变更监护人。法院会根据被监护人的利益和实际情况，决定是否变更监护人。
报警处理：在极端情况下，如果监护人的行为涉嫌犯罪（如虐待、遗弃等），近亲属可以报警处理，由公安机关依法追究监护人的法律责任。
四、法律程序与注意事项
在采取上述措施时，近亲属需要注意以下几点：
收集证据：在沟通、求助或申请变更监护人时，近亲属应尽可能收集相关证据，以证明监护人的不当行为。
遵循法律程序：在采取任何法律行动时，近亲属应遵循法律程序，确保自己的行为合法合规。
保护被监护人隐私：在处理此类问题时，近亲属应注意保护被监护人的隐私和尊严，避免对其造成不必要的伤害。
综上所述，当法定无民事行为能力人的监护人故意不告知近亲属其下落时，近亲属可以通过沟通、求助、申请变更监护人或报警等途径来维护被监护人的权益。希望这些解答能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时咨询。