监视居住的批准部门根据刑事诉讼的不同阶段和案件性质有所不同，具体如下：
公安机关侦查阶段：
- 在刑事案件的侦查过程中，若公安机关认为犯罪嫌疑人符合监视居住的条件（如患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或正在哺乳自己婴儿的妇女，系生活不能自理的人的唯一扶养人，因案件特殊情况或办理案件需要采取监视居住更为适宜，羁押期限届满案件尚未办结需要继续采取强制措施，或符合取保候审条件但无法提供保证人或不交纳保证金等），需经公安机关负责人审查决定是否批准监视居住。
人民检察院审查起诉阶段：
- 在审查起诉阶段，若人民检察院认为犯罪嫌疑人、被告人符合监视居住条件，一般案件由检察长决定批准监视居住。
- 对于重大案件，可能需经过检察委员会讨论决定是否批准。
人民法院审判阶段：
- 在审判过程中，若人民法院认为被告人符合监视居住条件，由法院院长决定是否批准监视居住。
监视居住的执行与监督：
- 无论监视居住的决定由哪个机关作出，具体的执行工作均由公安机关负责，确保监视居住措施的有效实施。
- 人民检察院对指定居所监视居住的决定和执行是否合法实行监督，以维护法律的公正和权威。
被监视居住人的义务：
- 被监视居住人在监视居住期间应遵守一系列义务，包括但不限于未经执行机关批准不得离开执行监视居住的处所，未经批准不得会见他人或通信（除法律允许的情况外），在传讯时及时到案配合司法机关的调查，不得干扰证人作证或破坏证据，不得毁灭、伪造证据或串供，以及将护照等出入境证件、身份证件、驾驶证件交执行机关保存等。
法律后果与注意事项：
- 若被监视居住人违反相关义务，可能面临被撤销监视居住、逮捕或其他更严厉的强制措施。
- 监视居住作为一种非羁押性的强制措施，旨在确保诉讼的顺利进行同时保障被监视居住人的合法权益。因此，各批准机关应严格按照法律规定进行审批，执行机关应切实履行监督职责。
建议：
- 若您或您身边的人涉及监视居住的情况，建议详细了解监视居住的适用条件、执行地点、通知家属的义务以及被监视居住人的义务等相关法律规定。
- 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律意见。