结论：在案件处于公安机关侦查阶段时，可以申请取保候审，但申请主体并非公安机关本身，而是由犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人提出申请，公安机关作为决定机关进行审查并作出是否准许的决定。以下从法律框架、申请条件、办理流程及注意事项四个角度展开说明：

一、法律框架：取保候审的权力分配

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条，公安机关、人民检察院、人民法院均有权在刑事诉讼过程中决定取保候审。但需明确：

1. 公安机关的角色：作为侦查机关，公安机关负责审查申请材料、评估社会危险性，并作出是否取保候审的决定；若准许，则由公安机关执行（如责令提供保证人或交纳保证金）。
2. 申请主体的限制：公安派出所等基层单位无权直接受理取保候审申请，申请需以书面形式向县级以上公安机关提交。

示例：若张三因涉嫌盗窃被公安机关立案侦查，其妻子可作为近亲属向办案的公安局提交取保候审申请，而非直接向派出所申请。

二、申请条件：需满足法定情形之一

根据《刑事诉讼法》第六十七条，犯罪嫌疑人需符合以下条件之一方可申请：

1. 可能判处轻刑：如管制、拘役或独立适用附加刑（如罚金）；
2. 有期徒刑但无社会危险性：虽可能判处有期徒刑，但采取取保候审不致发生毁灭证据、串供、逃跑等行为；
3. 特殊人群保护：患有严重疾病、生活不能自理，或怀孕/正在哺乳婴儿的妇女，且无社会危险性；
4. 羁押期限届满：案件未办结但需继续侦查，且符合前述条件。

关键点：公安机关会综合评估犯罪情节、社会危险性、证据固定程度等因素。例如，初犯、有固定居所、认罪态度好的犯罪嫌疑人更易获批。

三、办理流程：从申请到执行的完整步骤

1. 提交申请：

   • 申请人需以书面形式向公安机关提交《取保候审申请书》，并附相关证据（如医疗证明、固定居所证明等）；
   • 辩护律师可协助撰写申请书，突出犯罪嫌疑人无社会危险性、符合法定条件等理由。

2. 公安机关审查：

   • 办案部门在3日内完成审查，重点评估社会危险性、证据充分性及保证方式可靠性；
   • 可能要求申请人补充材料或进行询问。

3. 作出决定：

   • 准许取保候审的，出具《取保候审决定书》，责令提供保证人或交纳保证金（保证金数额根据案件风险、经济状况等确定）；
   • 不予准许的，书面通知申请人并说明理由。

4. 执行与监督：

   • 犯罪嫌疑人需遵守规定（如不得离开居住地、随传随到等），违反者可能被撤销取保候审、重新羁押；
   • 公安机关定期核查遵守情况，案件侦查终结后及时解除取保候审。

示例：李四因涉嫌诈骗被取保候审，其交纳了2万元保证金。后因未经批准离开居住地，公安机关没收保证金并决定逮捕。

四、注意事项：提高申请成功率的建议

1. 时机选择：在犯罪嫌疑人被刑事拘留后、逮捕前申请，此时公安机关尚未形成固定证据链，更易评估社会危险性；
2. 证据准备：提供证明无社会危险性的材料（如稳定工作、家庭关系证明）、病情诊断书等；
3. 保证方式选择：
   • 保证人担保：保证人需与本案无牵连、有能力履行保证义务（如监督犯罪嫌疑人遵守规定）；
   • 保证金担保：金额需与案件风险匹配，过高可能增加经济负担，过低可能被认为保证不足。
4. 专业协助：律师可协助分析案情、撰写申请书、与公安机关沟通，提高申请精准度。

总结：在公安机关侦查阶段申请取保候审是合法权利，但需严格遵循法定条件与程序。若您或家人涉及此类情况，可直接向我咨询具体案情及申请策略，我将结合证据材料与司法实践提供专业建议。