在探讨什么情况下可以提出履职申请时，我们首先要明确的是，履职申请通常与要求行政机关履行其法定职责相关联。以下是一些详细且具体的情况，说明何时可以提出这样的申请：
一、基本前提
存在法定职责：首先，必须确认所要求履行的职责是行政机关的法定职责，即该职责在法律法规中有明确规定。
未履行或未及时履行：当行政机关未履行其法定职责，或者虽然表示将履行但未在合理期限内完成时，公民、法人或其他组织有权提出履职申请。
二、具体情形
直接申请履职：
- 如果您认为行政机关未履行其应当履行的某项具体职责，例如对违规建筑的查处、对噪音污染的治理等，且该职责属于行政机关的法定职责范围，您可以直接向该行政机关提出履职申请。
- 申请时，应明确说明要求履行的具体职责、事实依据以及期望的履行期限。
行政机关未依职权主动履职：
- 在某些情况下，行政机关应当依职权主动履行法定职责，如紧急情况下的救援、公共安全事件的处置等。如果行政机关未主动履行，且您认为该职责的履行对您的合法权益有直接影响，您也可以提出履职申请。
- 但需注意，如果法律明确规定行政机关应当依职权主动履行而无需申请，则您无需提出申请即可直接寻求法律救济。
通过信访渠道申请履职：
- 对于属于行政机关法定职责但法律法规未对强制性处理程序作出明确规定的事项，如邻居建筑物影响采光、小区夜间施工噪音扰民等，您可以通过信访渠道向行政机关提出履职申请。
- 信访时，应详细描述问题、提供相关证据，并明确要求行政机关履行职责的具体内容。
三、申请后的处理与救济
行政机关的处理：
- 行政机关在接到履职申请后，应当在法定期限内（通常为两个月）决定是否履行职责并答复申请人。
- 如果行政机关决定履行职责，应明确告知履行的方式、期限等；如果决定不履行，应说明理由。
救济方式：
- 如果行政机关拒绝履行、未依法履行或者不予答复，您有权申请行政复议或者向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
四、法律依据
- 根据《中华人民共和国行政诉讼法》第三十八条的规定，在起诉被告不履行法定职责的案件中，原告应当提供其向被告提出申请的证据。但有例外情形，如被告应当依职权主动履行法定职责的，或者原告因正当理由不能提供证据的。
综上所述，当您认为行政机关未履行其法定职责，且该职责属于行政机关应当履行的范围时，您可以向该行政机关提出履职申请。如果行政机关未在法定期限内履行职责或不予答复，您还有权寻求进一步的法律救济。