结论：当第三人收到履行到期债务通知书后否认债务存在时，你可以通过核实债务真实性、与第三人协商、提起代位权诉讼或申请强制执行（如已获生效判决）等途径来处理。

详细分析与建议：

1. 核实债务真实性：

   • 首先，你需要仔细审查你与债务人之间的债权债务关系，确保你的债权是合法、有效且已到期的。
   • 接着，收集并整理所有与债务相关的证据，如借款合同、转账记录、聊天记录等，以证明债务的真实存在。

2. 与第三人协商：

   • 在确认债务真实存在后，你可以尝试与第三人进行协商，了解其否认债务的具体原因。
   • 如果第三人提出合理的异议或需要进一步的证据来确认债务，你可以提供相应的证据或解释，以消除其疑虑。
   • 协商过程中，保持冷静和理性，尽量通过友好沟通解决问题。

3. 提起代位权诉讼：

   • 如果协商无果，且你确信第三人对债务人负有到期债务，你可以考虑向法院提起代位权诉讼。
   • 代位权诉讼是指债权人为了保障自己的债权，以自己的名义直接向债务人的债务人（即第三人）主张权利的一种诉讼方式。
   • 在提起代位权诉讼时，你需要提供充分的证据证明债务人对第三人享有到期债权，且你已向债务人催告过但债务人未履行债务。
   • 如果法院支持你的诉讼请求，第三人将直接向你履行债务。

4. 申请强制执行（如已获生效判决）：

   • 如果你已经通过诉讼或其他方式获得了对债务人的生效判决，但债务人仍未履行债务，且你确信第三人对债务人负有到期债务，你可以向法院申请强制执行。
   • 在申请强制执行时，你需要提供生效判决、债务人对第三人享有到期债权的证据等材料。
   • 法院在审查后，如果认为符合执行条件，将裁定对第三人进行强制执行。

额外建议：

• 在处理此类纠纷时，务必保持冷静和理性，避免采取过激或违法的行为。
• 如果可能的话，寻求专业律师的协助将有助于你更好地维护自己的权益。作为专业律师，我可以为你提供详细的法律咨询和诉讼代理服务。
• 记住，法律程序可能需要一定的时间和精力，但坚持下去并寻求合法途径解决问题是维护自己权益的关键。