结论：针对您因线路故障（供电局责任）导致店里灯带被烧的情况，您可以通过协商、投诉或诉讼等法律途径来维护自己的权益，要求供电局进行赔偿。以下是从不同角度为您详细分析的解决方案：
一、法律责任分析
供电局的责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，因供电局的线路故障导致您的财产（灯带）受损，供电局应当承担侵权责任，赔偿您的损失。
- 供电局作为公共服务的提供者，有义务确保其提供的电力服务安全、稳定，因线路故障导致的损失，供电局应负责赔偿。
您的权利：
- 您有权要求供电局对受损的灯带进行赔偿，包括灯带的购买费用、安装费用以及因灯带损坏导致的其他直接损失（如因停电导致的营业损失，但需有充分证据证明）。
二、解决途径
协商解决：
- 步骤：首先，您可以尝试与供电局进行协商，说明情况并提供相关证据（如灯带损坏的照片、购买凭证、安装费用发票等），要求供电局进行赔偿。
- 优点：协商解决速度快，成本低，双方可以友好地达成一致意见。
- 注意：在协商过程中，建议您保留好所有相关证据，以便在协商不成时作为诉讼的依据。
投诉解决：
- 步骤：如果协商无果，您可以向当地的电力监管部门或消费者协会进行投诉，说明情况并提供相关证据，要求他们介入调查并协调解决。
- 优点：投诉可以引起相关部门的重视，促使供电局积极解决问题。
- 注意：投诉时需提供详细的情况说明和证据材料，以便相关部门能够准确了解情况并作出处理。
诉讼解决：
- 步骤：如果协商和投诉均无法解决问题，您可以向法院提起诉讼，要求供电局赔偿您的损失。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据证明供电局的过错以及您的损失情况。
- 优点：诉讼具有强制力，一旦法院判决供电局赔偿，供电局必须履行判决。
- 注意：诉讼过程可能较为漫长且成本较高，建议您在提起诉讼前充分评估自己的损失情况和诉讼成本。同时，在诉讼过程中，您需要积极配合法院的调查和审理工作，提供必要的证据材料。
三、证据收集与保存
- 证据类型：包括但不限于灯带损坏的照片、购买凭证、安装费用发票、因停电导致的营业损失证明（如营业额减少的记录、顾客投诉等）等。
- 保存方式：建议您将所有证据进行整理并妥善保存，最好制作一份证据清单，以便在协商、投诉或诉讼过程中能够迅速提供。
四、后续行动建议
- 及时行动：一旦发现灯带被烧，应尽快与供电局联系并说明情况，同时开始收集和保存相关证据。
- 保持沟通：在与供电局协商或投诉过程中，保持与对方的沟通联系，及时了解处理进展并表达自己的诉求。
- 寻求专业帮助：如果您在处理过程中遇到困难或不确定如何操作，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。
希望以上分析能够对您有所帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。