在农用三轮压死农村乱跑的狗这一事件中，责任认定需综合考虑多方因素，无法直接断定是哪一方的责任，需根据具体情况分析。以下是从不同角度进行的分析：
一、狗主人的责任
管理义务：
- 狗主人有义务对自家狗进行妥善管理，确保其不随意乱跑，尤其是在公共道路或可能危及他人安全的地方。如果狗主人明知狗有随意乱跑的习惯，却未采取任何防护措施（如拴绳、圈养等），导致狗跑到马路上被撞，那么狗主人因未尽到管束义务而存在一定过错。
责任承担：
- 在狗主人未妥善管理狗的情况下，如果狗被撞，狗主人应承担相应的责任。这种责任可能表现为对狗的损失承担赔偿责任，或者在与司机协商时承担部分责任。根据《中华人民共和国民法典》的规定，饲养的动物对他人造成损害的，动物的饲养人或者管理人应当承担侵权责任。但在此案例中，是狗被撞而非造成他人损害，不过狗主人的管理不善仍是认定责任的重要因素。
二、司机的责任
存在过错的情况：
- 如果司机在驾驶过程中存在违反交通规则的行为（如超速、酒驾、疲劳驾驶等），即使狗处于乱跑状态，司机也需承担相应责任。因为司机的违规行为增加了事故发生的风险，违反了安全驾驶的义务。
无过错的情况：
- 若司机正常行驶，遵守交通规则，且狗突然窜出导致被压死，司机通常无需承担赔偿责任。因为在这种情况下，司机难以预见狗的突然出现，也无法及时采取有效措施避免事故。不过，出于道德考虑或避免纠纷，司机可以与狗主人进行友好协商，给予适当补偿。
三、事故处理建议
协商解决：
- 在实际处理这类纠纷时，双方应首先尝试通过协商解决问题。协商可以基于各自的责任和损失情况，寻求一个双方都能接受的解决方案。例如，司机可以承担部分狗的价值损失作为补偿，而狗主人则接受这一补偿并放弃进一步追究。
报警或诉讼：
- 如果协商不成，双方可以报警，由交警对事故情况进行调查和认定。交警会根据现场情况、证人证言等证据来划分责任。或者，也可以通过向法院提起诉讼的方式，由法院根据具体证据和事实来划分责任。在诉讼过程中，双方需要提供充分的证据来支持自己的主张。
加强宠物管理：
- 无论是司机还是狗主人，都应加强宠物管理，提高安全意识。狗主人应确保狗在可控范围内活动，避免其随意乱跑；司机则应遵守交通规则，保持安全驾驶。这是预防此类事故发生的根本措施。
总结：在农用三轮压死农村乱跑的狗这一事件中，责任认定需综合考虑狗主人的管理义务、司机的驾驶行为以及事故发生的具体情况。双方应通过协商、报警或诉讼等方式妥善处理纠纷，并加强宠物管理以提高安全意识。如果有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。