关于“公路上压死狗谁的责任”这一问题，需要分情况讨论，以下是详细分析：

1. 驾驶员存在过错或违规行为

   • 如果驾驶员在驾驶过程中存在疏忽大意、超速行驶、违规驾驶（如酒驾、违规变道等）等过错行为，导致压死狗，那么驾驶员需要承担相应的赔偿责任。赔偿金额通常以狗的实际价值为准，包括购买费用、品种价值等。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百八十四条，侵害他人财产的，财产损失按照损失发生时的市场价格或者其他合理方式计算。

2. 狗未拴绳且主人管理不当

   • 如果狗未拴绳，且主人未尽到有效的管理义务，导致狗跑到公路上被压死，而驾驶员在正常行驶且无违规行为的情况下，通常不需承担责任。但需注意，如果驾驶员在发现狗后未采取合理避让措施，也可能因未尽谨慎驾驶义务而承担一定责任。
   • 特殊情况：在宠物活动区域，如宠物公园、宠物友好街区等，驾驶员应对可能出现的宠物保持更高注意义务。若在这些区域压死狗，即使狗未拴绳，驾驶员也可能因未尽谨慎驾驶义务而承担一定责任。

3. 紧急避险情况

   • 如果驾驶员为避免更严重的危害结果（如躲避行人、其他车辆等突发情况），不得已压死狗，可能构成紧急避险。根据法律规定，紧急避险人不承担民事责任，但可给予适当补偿。若险情由自然原因引起，紧急避险人同样不承担民事责任或仅给予适当补偿。
   • 法律依据：虽然直接的法律条文可能并未明确提及压死狗的情况，但紧急避险的原则在《中华人民共和国民法典》等相关法律中有所体现，即为了使公共利益、本人或者他人的合法权益免受正在发生的危险，不得已采取的紧急措施。

4. 流浪狗情况

   • 一般情况下，压死流浪狗无需承担赔偿责任，因为流浪狗无明确主人。但在特定场所（如小区内有物业负责管理流浪动物），且物业等相关方已采取管理措施时，驾驶人若存在不当行为导致压死狗，可能需要适当承担一定责任。

应对建议：

• 保护现场并报警：发生事故后，驾驶员应立即停车保护现场，报警并记录事故发生详情，包括时间、地点、天气状况等。这有助于后续的责任认定和赔偿处理。
• 与狗主人协商：若狗有主人，驾驶员应积极与狗主人沟通协商赔偿事宜。双方无法达成一致时，可考虑寻求法律援助或通过诉讼解决争议。
• 增强法律意识：驾驶员应严格遵守交通规则，提高安全驾驶意识；狗主人也应加强对狗的管理，确保狗的安全和他人权益不受侵害。

综上所述，公路上压死狗的责任判定需综合考虑多方面因素，包括驾驶员的过错、狗的管理状态以及紧急避险等。在处理此类事件时，应遵循法律法规，同时注重实际情况的考量，以确保公平合理地解决纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。