结论前置：抚养费给了一部分后，在特定情况下仍然可以起诉要求变更或追讨剩余部分。这些特定情况主要包括追讨未支付部分、要求增加抚养费、要求减少抚养费等。

详细分析：

1. 追讨未支付的抚养费：

   • 如果未直接抚养孩子的一方未按照约定或法律规定按时足额支付抚养费，抚养孩子的一方有权向法院起诉追讨拖欠的抚养费。此时，需要提供充分的证据来证明对方未履行抚养义务，如抚养费支付记录、银行转账凭证等，以证明对方确实存在未支付或未足额支付的情况。
   • 实例说明：假设双方约定每月支付抚养费2000元，但对方只支付了1000元，且持续数月如此，那么抚养孩子的一方就可以向法院起诉，要求对方支付剩余的1000元/月及可能的滞纳金或利息。

2. 要求增加抚养费：

   • 随着孩子年龄的增长和生活学习成本的提高，原有的抚养费数额可能难以满足孩子的实际需要。例如，孩子突发重大疾病需要高额医疗费用，或者教育费用大幅增加等情况下，抚养孩子的一方可以向法院起诉，要求增加抚养费数额。
   • 法律依据：根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第五十八条的规定，具有下列情形之一，子女要求有负担能力的父或者母增加抚养费的，人民法院应予支持：（一）原定抚养费数额不足以维持当地实际生活水平；（二）因子女患病、上学，实际需要已超过原定数额；（三）有其他正当理由应当增加。
   • 实例说明：如果孩子原本每月的教育费用是500元，但由于进入了私立学校或参加了高价的课外辅导班，导致教育费用增加到2000元/月，那么抚养孩子的一方就可以向法院起诉，要求增加抚养费以覆盖这部分额外的教育费用。

3. 要求减少抚养费：

   • 如果支付抚养费的一方出现经济状况严重恶化，如失业、患重病导致收入大幅减少甚至失去经济来源，确实无力按照原定数额支付抚养费，也可以通过起诉请求法院适当降低抚养费数额。
   • 法律依据：同样根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》的相关规定，允许在特定情形下变更子女抚养费数额。
   • 实例说明：如果支付抚养费的一方原本每月收入是10000元，按照约定支付2000元/月的抚养费，但由于失业或患重病导致收入锐减至3000元/月，那么该方就可以向法院起诉，请求适当减少抚养费数额。

法律建议：

• 在起诉前，尽量与对方进行协商，看是否能够达成一致意见，以避免不必要的法律纠纷。
• 如果协商无果，再考虑向法院起诉。在起诉时，务必准备好充分的证据来支持自己的主张，如抚养费支付记录、银行转账凭证、双方的经济状况证明、孩子实际生活需要的证明材料等。
• 考虑到法律程序的复杂性和专业性，建议在起诉前咨询专业律师（即我本人）的意见，以确保自己的权益得到有效维护。

可能法律后果：

• 如果法院认定你的诉求合理且证据充分，将会判决对方支付拖欠的抚养费、增加或减少抚养费数额等。
• 如果法院认定你的诉求不合理或证据不足，可能会驳回你的诉讼请求。因此，在起诉前务必做好充分的准备和证据收集工作。