核心结论：两方打架都住院且一方拖着不处理时，另一方可以采取以下措施来推动事情的解决：

1. 及时报警并保留证据：

   • 无论对方是否愿意处理，都应第一时间向公安机关报案，详细陈述事情经过，并提供相关证据，如现场照片、视频、证人证言等。这些证据将有助于公安机关查明事实真相，为后续处理提供依据。
   • 同时，保留好自己住院的相关医疗记录、费用单据等，这些也是后续维权的重要证据。

2. 等待公安机关处理结果：

   • 公安机关在接到报案后，会进行调查取证，并根据调查结果依法作出处理决定。如果对方的行为构成违法或犯罪，公安机关会依法对其进行处罚。
   • 在此过程中，应积极配合公安机关的工作，提供必要的协助和信息。

3. 考虑民事赔偿途径：

   • 如果对方的行为给自己造成了人身伤害或财产损失，可以在公安机关处理的同时，考虑通过民事诉讼途径来维护自己的合法权益。
   • 可以向法院提起民事诉讼，要求对方赔偿医疗费、误工费、护理费等相关费用。在提起诉讼前，应准备好充分的证据来支持自己的主张。

4. 寻求调解或和解：

   • 如果双方都有意愿解决纠纷，可以考虑通过调解或和解的方式来达成协议。调解可以是在公安机关的主持下进行，也可以是在第三方调解机构或律师的协助下进行。
   • 和解则是双方自行协商达成一致意见，并签订和解协议。无论选择哪种方式，都应确保协议内容合法、有效，并明确双方的权利和义务。

5. 关注对方动态，及时应对：

   • 在处理过程中，应关注对方的动态和态度变化。如果对方有逃避处理、转移财产等行为，应及时向公安机关或法院报告，并采取相应的法律措施来维护自己的权益。

额外建议：在整个处理过程中，建议保持冷静和理性，避免与对方发生进一步的冲突或争执。同时，可以寻求专业律师的帮助和指导，以确保自己的权益得到充分保障。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。