在面对打架斗殴后对方住院却拖着不处理的情况时，这确实是一个比较棘手的问题，但我们可以按照以下步骤来妥善应对：

一、明确法律责任与积极收集证据

首先，你需要明确打架斗殴可能带来的法律责任。根据《治安管理处罚法》以及相关法律法规，殴打他人或故意伤害他人身体是违法行为，可能会面临拘留、罚款乃至刑事处罚。因此，你需要判断这次事件的性质以及你可能需要承担的法律责任。

同时，收集所有与事件相关的证据至关重要。这包括但不限于现场监控录像、目击者证言、双方的聊天记录、医疗记录以及警方的报告等。这些证据将有助于还原事实真相，明确责任划分，为后续的法律程序提供有力的支持。

二、主动沟通协商，提出合理赔偿

在收集了足够的证据后，你可以尝试主动与对方或其家属取得联系，表达你解决问题的诚意。了解对方拖延处理的原因，比如他们是否对赔偿金额有异议，或者是否有其他特殊情况。

基于对方的实际损失，如医疗费、误工费、护理费等，结合法律法规，你可以提出一个公平合理的赔偿方案。同时，要求对方提供相关的费用清单及证明材料，以确保赔偿金额的准确性。

三、寻求第三方调解与法律援助

如果双方协商无果，你可以考虑向公安机关申请调解。公安机关在处理治安案件时具有调解职责，他们会依法提出调解方案，并尽力促成双方和解。

此外，你还可以向当地的人民调解委员会申请调解。人民调解委员会是一个专业且中立的调解机构，他们会安排专业的调解员来协助双方达成和解。

在整个过程中，如果你感到困惑或需要具体的法律建议，及时咨询专业律师是非常重要的。律师可以根据你的具体情况提供个性化的指导，帮助你制定合适的应对策略。

四、遵循法律程序，积极应诉

如果你已经向公安机关报案，那么你需要耐心等待其调查处理结果。公安机关会根据调查结果依法作出相应的决定。

如果对方最终选择通过诉讼方式解决纠纷，你也需要积极应诉。按时参加庭审，如实陈述事件经过，并提供相关证据。必要时，你可以委托律师代理诉讼，以维护你的合法权益。

五、总结与警示

最后，我想强调的是，打架斗殴是违法行为，不仅可能导致身体伤害和财产损失，还可能对个人声誉和未来造成严重影响。因此，在日常生活中，我们应该尽量避免参与此类事件，并通过合法途径解决任何纠纷或冲突。如果遇到类似情况，务必保持冷静和理智，依法妥善处理。

希望以上建议能对你有所帮助。如果你还有其他问题或需要进一步的法律援助，请随时告诉我。