核心结论：私生子没有出生证明和亲子鉴定时，仍可通过其他途径证明亲子关系，进而继承生父遗产。具体可从以下角度分析和操作：

1. 法律基础：非婚生子女与婚生子女享有同等继承权

根据《中华人民共和国民法典》第1071条和第1127条，非婚生子女（私生子）与婚生子女享有同等的法律地位，包括继承权。无论是否有出生证明或亲子鉴定，非婚生子女均有权继承生父的遗产，但需先证明亲子关系。

2. 证明亲子关系的替代途径

若缺乏出生证明或亲子鉴定，可通过以下方式补强证据：

• 证人证言：生父的亲属、朋友、邻居等知情人可出庭作证，证明生父与子女存在亲子关系（如共同生活、抚养事实等）。
• 生活痕迹证据：
  • 生父与子女的合影、视频、通信记录（如短信、微信、邮件）；
  • 生父为子女支付学费、医疗费、生活费的凭证（如转账记录、收据）；
  • 生父的遗嘱或书面声明（明确承认子女身份）。
• 其他间接证据：
  • 生父与子女共同参加活动的记录（如家长会签字、旅行登记）；
  • 生父的日记、信件中提及子女的内容；
  • 生父所在单位、社区或派出所的档案记录（如户籍登记、抚养登记）。

3. 诉讼程序中的举证责任

• 原告（非婚生子女）的初步举证：需提供基础证据证明亲子关系可能存在（如上述替代证据）。
• 被告（其他继承人）的反驳：若被告否认亲子关系，需承担举证责任（如申请亲子鉴定）。若被告拒绝鉴定且无相反证据，法院可能推定亲子关系成立（《民法典婚姻家庭编解释（一）》第39条）。

4. 实务建议

• 优先协商：与其他继承人沟通，说明法律权利，争取通过调解或协议继承遗产。
• 及时取证：尽快收集生父生前的相关证据（如通信记录、支付凭证），避免证据灭失。
• 申请法院调查：若个人取证困难，可申请法院调取生父的银行流水、户籍档案等证据。
• 考虑遗嘱继承：若生父留有遗嘱且明确承认子女身份，可直接按遗嘱继承，无需额外证明亲子关系。

5. 风险提示

• 若完全无法证明亲子关系，可能面临继承权被否认的风险。
• 诉讼周期可能较长，需做好心理准备和证据保全。

总结：没有出生证明和亲子鉴定并不意味着丧失继承权，关键是通过其他证据形成完整的证据链。建议尽快联系我，根据具体证据情况制定策略，最大限度维护合法权益。