结论前置：私生子在生父死后没有亲子鉴定，在一定条件下仍可能继承遗产，但需满足特定法律要求，具体分情况如下：

1. 存在其他证据证明亲子关系
   根据《民法典》第1073条，对亲子关系有异议的，有证据的一方可向法院提起诉讼确认亲子关系。若私生子能提供其他证据（如生父生前书面承认、证人证言、录音录像、生父与私生子共同生活的照片、视频、生父支付抚养费的凭证等），且证据形成完整证据链，法院可能推定亲子关系成立，从而赋予其继承权。
   关键点：证据需达到“高度盖然性”标准，即足以让法官相信亲子关系存在的可能性远大于不存在。

2. 生父未留遗嘱且无其他继承人质疑
   若生父未立遗嘱，遗产按法定继承处理。根据《民法典》第1127条，非婚生子女与婚生子女享有同等继承权。若其他继承人（如配偶、婚生子女、父母）未对私生子的身份提出异议，或异议被法院驳回，私生子可直接作为第一顺序继承人参与分配。
   例外：若其他继承人提供反证（如生父无生育能力的医学证明、私生子与生父无接触的客观证据等），可能否定继承权。

3. 生父留有遗嘱但未明确排除私生子
   若生父通过遗嘱处分遗产，但未明确表示“私生子不得继承”，根据《民法典》第1141条，遗嘱应保留必要遗产份额给缺乏劳动能力又无生活来源的继承人。若私生子符合该条件，即使无亲子鉴定，仍可能主张继承权。
   风险点：若遗嘱明确排除私生子，且亲子关系无法通过法律程序确认，私生子将丧失继承权。

行动建议：

• 立即收集所有可能证明亲子关系的证据（如生父生前书信、社交媒体互动、共同活动记录等）；
  
• 若其他继承人质疑身份，尽快向法院提起亲子关系确认之诉；
  
• 咨询专业律师，制定证据收集和诉讼策略，避免因证据不足丧失权利。
  

法律依据：

• 《民法典》第1073条（亲子关系确认）、第1127条（法定继承顺序）、第1141条（遗嘱继承的特殊保护）；
  
• 《最高人民法院关于适用〈民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第39条（亲子关系推定规则）。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体证据收集或诉讼流程。