在探讨哪些公诉案件不予受理后可以提起刑事自诉的问题时，我们首先要明确的是，刑事自诉案件有其特定的受理范围和条件。以下是对这一问题的详细解答：

一、刑事自诉案件的基本范围

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，刑事自诉案件主要包括以下三类：

1. 告诉才处理的案件：这类案件通常涉及个人权益，如侮辱、诽谤等，需要被害人主动告诉，法院才会受理。

2. 被害人有证据证明的轻微刑事案件：这类案件虽然属于刑事范畴，但情节相对轻微，且被害人能够提供足够的证据证明被告人的犯罪行为。

3. 被害人有证据证明对被告人侵犯自己人身、财产权利的行为应当依法追究刑事责任，而公安机关或者人民检察院不予追究被告人刑事责任的案件：这类案件中，被害人认为公安机关或人民检察院未依法履行职责，因此选择向法院提起自诉。

二、公诉案件不予受理后可提起刑事自诉的情形

在公诉案件中，若存在以下情形，且案件符合刑事自诉案件的范围，被害人或其法定代理人、近亲属可以提起刑事自诉：

1. 公安机关或人民检察院不予立案或撤销案件的：

   • 若被害人认为公安机关或人民检察院对案件的处理不当，如不予立案或撤销案件，且案件属于刑事自诉案件的范围，被害人可以提起自诉。

2. 公安机关或人民检察院已作出不予追究刑事责任的决定的：

   • 在某些情况下，公安机关或人民检察院可能认为被告人的行为不构成犯罪或不需要追究刑事责任，并作出相应决定。若被害人对此决定不服，且案件符合自诉条件，可以提起自诉。

三、不予受理刑事自诉的常见情形

然而，并非所有公诉案件不予受理后都可以提起刑事自诉。以下是一些法院通常不予受理刑事自诉的常见情形：

1. 缺乏足够证据的案件：

   • 自诉人提起刑事自诉时，需承担举证责任。若提供的证据不足或无法形成完整的证明链，法院将不予受理。

2. 超过诉讼时效的案件：

   • 根据《刑法》的规定，犯罪经过一定期限后将不再追诉。若自诉案件已超过法定的追诉时效期间，法院将不予受理。

3. 被告人下落不明或已死亡的案件：

   • 若被告人下落不明或已死亡，法院将无法保障被告人的诉讼权利，也难以开展正常的审判活动，因此不予受理。

4. 案件性质不属于告诉才处理的案件：

   • 若案件性质不属于告诉才处理的范畴，如严重危害国家安全、公共安全的犯罪案件，法院将不予受理为自诉案件。

5. 重复起诉或经调解结案后反悔的案件：

   • 若自诉案件已经过人民法院审理并作出裁判，或经调解结案后自诉人反悔并就同一事实再次起诉的，法院将不予受理。

四、建议与总结

对于被害人或其法定代理人、近亲属而言，在提起刑事自诉前，应仔细了解相关法律规定和受理条件，确保案件符合自诉范围，并准备充分的证据支持自己的诉讼请求。同时，也应注意避免上述不予受理的情形，以提高诉讼的成功率。

总之，公诉案件不予受理后是否可以提起刑事自诉，取决于案件的具体性质、证据情况以及是否符合刑事自诉案件的范围和条件。在提起自诉前，建议咨询专业律师或法律机构，以获取更具体、更专业的法律建议。