如果判决书认定嫌疑人如实供述存在错误，确实可以申请重新再审。以下从几个方面为你详细分析：

一、法律依据

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百五十三条的规定，当事人及其法定代理人、近亲属的申诉符合下列情形之一的，人民法院应当重新审判：

1. 有新的证据证明原判决、裁定认定的事实确有错误，可能影响定罪量刑的；
2. 据以定罪量刑的证据不确实、不充分、依法应当予以排除，或者证明案件事实的主要证据之间存在矛盾的；
3. 原判决、裁定适用法律确有错误的；
4. 违反法律规定的诉讼程序，可能影响公正审判的；
5. 审判人员在审理该案件的时候，有贪污受贿，徇私舞弊，枉法裁判行为的。

虽然该条款没有直接提及“如实供述认定错误”作为再审的理由，但“原判决、裁定认定的事实确有错误”这一条款具有广泛的适用性。如果判决书对嫌疑人如实供述的认定存在错误，且这种错误影响了定罪量刑，那么就符合了重新审判的条件。

二、实践操作

1. 提出申诉：

   • 嫌疑人或其法定代理人、近亲属可以向作出生效判决的人民法院或者其上一级人民法院提出申诉。
   • 申诉时应当提交申诉状，并附上相关证据材料，以证明原判决在如实供述认定上存在错误。

2. 审查申诉：

   • 人民法院在收到申诉后，会进行初步审查，判断申诉是否符合再审的条件。
   • 如果认为申诉有理，人民法院会决定再审，并另行组成合议庭进行审理。

3. 再审审理：

   • 在再审过程中，人民法院会重新审查案件事实和证据，包括对嫌疑人如实供述的认定。
   • 如果发现原判决在如实供述认定上确实存在错误，且这种错误影响了定罪量刑，人民法院会依法改判。

三、注意事项

1. 申诉的时效性：

   • 申诉并没有严格的时效限制，但建议尽早提出，以便尽快纠正可能的错误。

2. 证据的收集和整理：

   • 在提出申诉前，应当尽可能收集和整理相关证据材料，以证明原判决在如实供述认定上存在错误。
   • 这些证据材料可以包括嫌疑人的供述、证人证言、物证、书证等。

3. 法律程序的遵循：

   • 在申诉和再审过程中，应当严格遵循法律程序，确保申诉和再审的合法性和有效性。

四、可能的结果

1. 如果再审认定原判决在如实供述认定上确实存在错误：

   • 人民法院会依法改判，可能包括撤销原判决、减轻刑罚或宣告无罪等。

2. 如果再审认定原判决在如实供述认定上没有错误：

   • 人民法院会维持原判决，申诉将被驳回。

总结来说，如果判决书认定嫌疑人如实供述存在错误，且这种错误影响了定罪量刑，那么嫌疑人或其法定代理人、近亲属有权向人民法院提出申诉，请求重新再审。在申诉过程中，应当注重证据的收集和整理，并严格遵循法律程序。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。