结论：在司机全责的情况下，伤者的医疗费用垫付责任虽无明确法律强制规定由哪一方直接垫付，但依据《中华人民共和国道路交通安全法》及《机动车交通事故责任强制保险条例》的相关规定，全责方或其保险公司应承担垫付责任。若全责方或保险公司未及时垫付，伤者可申请救助基金垫付。治疗结束后，双方应依法进行结算与赔偿。

详细分析：

1. 法律层面上的责任规定：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条，侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费等合理费用。这明确了最终的赔偿责任由侵权方（即全责方）承担。
   • 《中华人民共和国道路交通安全法》第七十六条规定，机动车发生交通事故造成人身伤亡的，由保险公司在机动车第三者责任强制保险责任限额范围内予以赔偿。不足的部分，由有过错的一方承担赔偿责任。
   • 《机动车交通事故责任强制保险条例》第三十一条进一步规定，因抢救受伤人员需要保险公司支付或者垫付抢救费用的，保险公司在接到公安机关交通管理部门通知后，经核对应当及时向医疗机构支付或者垫付抢救费用。

2. 垫付主体及顺序：

   • 全责方或保险公司垫付：在事故责任明确为对方全责时，医药费应由全责方的保险公司或全责方本人垫付。当对方的车辆具备交强险及商业三者险时，首先在交强险医疗费用赔偿限额内（一般为1.8万元）由保险公司承担，超出部分在商业三者险约定范围内按责任比例赔偿。
   • 救助基金垫付：若全责方或保险公司未能及时垫付，且因抢救受伤人员需要，伤者可申请救助基金管理机构垫付抢救费用。

3. 垫付流程：

   • 报案与定损：全责方应立即向保险公司和交警部门报案。保险公司指定定损中心进行车辆损失评估，双方共同到定损中心拍照定损。
   • 垫付与结算：若全责方或保险公司同意垫付，直接向医疗机构支付。若需救助基金垫付，需公安机关交通管理部门通知救助基金管理机构。治疗结束后，全责方或保险公司应与受害者结算医药费，包括已垫付和未垫付的部分。

4. 后续赔偿：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百一十三条，赔偿顺序为先由承保机动车强制保险的保险人赔偿，不足部分由承保机动车商业保险的保险人赔偿，仍然不足或没有投保商业保险的，由全责方赔偿。

5. 注意事项：

   • 保留证据：伤者应妥善保留所有与事故和医疗费用相关的证据，如医疗费用收据、诊断证明、病历等。
   • 及时报案：发生事故后，全责方和伤者都应及时向交警部门和保险公司报案。
   • 了解保险条款：全责方应了解自己车辆的保险条款，特别是关于第三者责任险的赔偿范围和限额。

建议：

• 在事故发生后，全责方应积极与伤者沟通，了解伤者的医疗需求，并尽快向保险公司报案，启动理赔程序。
• 伤者应保留好所有与事故和医疗费用相关的证据，以便在后续处理赔偿问题时提供有力支持。
• 若全责方或保险公司未及时垫付医疗费用，伤者可考虑申请救助基金垫付，或通过法律途径维护自己的合法权益。

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