结论前置：试用期内，公司确实有权利开除员工，但这一权利的行使必须满足法定条件并严格遵循法定程序。若公司违法解除劳动合同，将可能面临支付赔偿金等法律责任。
合法开除的情形
不符合录用条件：
- 事先明确：公司需在招聘时明确具体的录用条件，如学历、工作经验、专业技能等，并确保这些条件合理、合法且明确。
- 考核证明：在试用期内，公司应对员工进行考核，并留存相关证据，以证明员工确实不符合录用条件。例如，若公司招聘的是一名会计，要求员工具备基本的会计知识和操作技能，但员工在试用期内无法完成基本的账务处理，且经考核评估确认，公司可依法解除劳动合同。
- 程序合规：解除劳动合同的通知书需在试用期届满前书面送达员工，并明确解除的原因和依据。
严重违反公司规章制度：
- 规章制度合法：公司的规章制度需经民主程序制定，内容不得违反法律法规，并向员工进行公示或告知。
- 行为严重：若员工的行为构成严重违反规章制度，如多次旷工、泄露公司机密、严重失职等，给公司造成重大损害，公司有权解除劳动合同。
- 证据充分：公司需提供充分证据证明员工的过错行为，如考勤记录、监控录像、证人证言等。
其他法定情形：
- 员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响，或经公司提出拒不改正。
- 员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危使公司违背真实意思订立或变更劳动合同，导致合同无效。
- 员工被依法追究刑事责任。
需提前通知并支付经济补偿的情形
- 劳动者患病或非因工负伤：医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作，公司需提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后，可解除劳动合同，并支付经济补偿。
- 劳动者不能胜任工作：经培训或调整工作岗位仍不能胜任，公司同样需提前三十日书面通知或额外支付一个月工资，并可解除劳动合同，同时支付经济补偿。经济补偿的计算方式如下：
- 计算公式：经济补偿 = 劳动者在本单位工作的年限 × 劳动者月工资
- 具体说明：工作年限每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
违法开除的后果
- 若公司在试用期内随意开除员工，不符合上述法定情形，即构成违法解除劳动合同。
- 劳动者有权要求公司继续履行劳动合同，或要求公司按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。赔偿金计算方式如下：
- 计算公式：赔偿金 = 经济补偿标准 × 2
- 具体说明：即按劳动者在本单位工作年限，每满一年支付两个月工资；六个月以上不满一年的按一年计算，支付两个月工资；不满六个月的支付一个月工资。
辞退员工的程序问题
- 说明辞退理由：公司应明确向员工说明辞退的具体理由，确保员工了解被辞退的原因。
- 出具解除劳动合同证明：解除劳动合同后，公司需为员工出具相应的证明文件，证明双方劳动合同的解除情况。
- 办理档案和社会保险关系转移手续：公司应在十五日内为员工办理档案和社会保险关系的转移手续，确保员工权益不受损害。
总结与建议：试用期内，公司虽然有权开除员工，但必须严格遵守相关法律法规及程序要求。建议公司在行使试用期解除权时谨慎行事，确保满足法律法规的要求，包括明确录用条件、收集充分证据、在试用期届满前完成考核并书面送达解除劳动合同通知书等。同时，公司应避免基于歧视或其他不合理原因而开除员工，并确保履行所有法定程序，以降低法律风险。若您在劳动工伤方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。