结论前置：厂里忙不给员工辞职，在一般情况下是违法的，但在特定情形下（如服务期约定和竞业限制约定），可能具有合法性。下面我将从多个角度为你详细分析。
一、劳动者的辞职权利与工厂的违法性
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者拥有解除劳动合同的权利。具体来说：
- 试用期内：劳动者提前三日通知用人单位，即可解除劳动合同。只要员工履行了提前通知的义务，工厂就无权阻拦其离职。
- 正式员工：正式员工需提前三十日以书面形式通知用人单位，方可解除劳动合同。员工在履行了这一法定程序后，工厂应当配合办理离职手续，不得限制员工离职。
如果工厂不允许员工依法辞职，这实际上是侵犯了劳动者的合法权益，违反了《中华人民共和国劳动合同法》的明确规定。公司没有权力限制员工的辞职自由，员工在履行了提前通知的义务后，有权离职。
二、特殊情形下的合法性
尽管一般情况下工厂不让离职是违法的，但在以下特定情形下，工厂的限制可能具有合法性：
- 服务期约定：如果工厂为劳动者提供了专项培训费用，并与其签订了服务期协议，劳动者在服务期内提出离职时，工厂有权基于服务期约定要求劳动者承担违约责任，并可以拒绝其离职请求，直至问题解决。但需注意，违约金的数额不得超过工厂提供的培训费用，且不得超过服务期尚未履行部分所应分摊的培训费用。
- 竞业限制约定：对于掌握工厂重要商业秘密且处于竞业限制约定有效期内的员工，工厂可以基于保密要求和竞业限制约定，对离职提出合理限制措施。但这种情况下，工厂需要支付相应的竞业限制经济补偿，且竞业限制期限不得超过二年。
三、劳动者的法律救济途径
如果工厂坚持不允许员工依法辞职，员工可以通过以下途径来维护自己的权益：
- 向劳动监察部门投诉：员工可以向当地的劳动监察部门反映情况，寻求其帮助和解决方案。劳动监察部门有权对工厂的违法行为进行调查和处理。
- 劳动仲裁和法院诉讼：在无法通过协商解决争议的情况下，员工可以申请劳动仲裁或向法院提起诉讼。在这些过程中，员工应保留好相关证据，如辞职报告、与工厂的沟通记录、劳动合同等，以证明自己的合法权益。
四、实际案例与法律建议
实际案例：曾有一位员工在工厂工作多年，因个人发展原因想要辞职。但工厂以业务繁忙为由拒绝其辞职请求，并威胁要扣除其工资。员工在咨询律师后，向劳动监察部门投诉，并提交了辞职报告和与工厂的沟通记录作为证据。最终，劳动监察部门责令工厂配合员工办理离职手续，并支付了员工应得的工资。
法律建议：
- 提前沟通：在决定辞职前，员工应提前与工厂沟通，了解工厂的态度和可能存在的限制。
- 履行法定程序：员工应按照《中华人民共和国劳动合同法》的规定，提前通知工厂并提交书面辞职报告。
- 保留证据：在整个过程中，员工应妥善保留相关证据，以备不时之需。
- 寻求法律帮助：如果工厂坚持不允许员工辞职或采取其他违法行为，员工应及时寻求法律帮助，维护自己的合法权益。
综上所述，厂里忙不给员工辞职在一般情况下是违法的，但在特定情形下可能具有合法性。员工应充分了解自己的权利，并在遇到问题时采取适当的法律措施来维护自己的权益。如果你有任何法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。