结论：商家是否承担责任，需根据具体情况判断，主要看商家是否尽到了合理的安全保障义务。以下从不同角度进行分析：
一、商家安全保障义务的法律依据
根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条：“宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。因第三人的行为造成他人损害的，由第三人承担侵权责任；经营者、管理者或者组织者未尽到安全保障义务的，承担相应的补充责任。经营者、管理者或者组织者承担补充责任后，可以向第三人追偿。”
在此案例中，商家作为经营场所的管理者，对顾客的财物负有合理的安全保障义务。这种义务包括但不限于提供安全的存放环境、采取必要的防范措施以及在发现财物丢失或可能丢失时及时采取措施等。
二、商家是否尽到安全保障义务的判断
监控显示物品被当垃圾扔掉：
- 如果商家能够证明其监控系统完善，且监控显示物品确实是被误当作垃圾扔掉，且商家在发现后及时采取了补救措施（如尝试找回物品、通知顾客等），那么商家可能已经尽到了合理的安全保障义务。
- 如果商家监控系统存在漏洞，或者商家在发现物品被扔掉后未及时采取补救措施，导致顾客损失扩大，那么商家可能未尽到合理的安全保障义务。
顾客物品丢失的时间与商家的责任：
- 顾客在物品丢失10天后才来找，这增加了商家查找和证明物品丢失原因的难度。然而，这并不直接免除商家的安全保障义务。商家仍需根据其监控记录和其他证据来判断是否尽到了义务。
- 如果商家能够证明在顾客物品丢失期间，其已经采取了合理的安全保障措施，且没有过错或疏忽，那么商家可能不承担责任。
商家对顾客财物的保管责任：
- 除非商家明确承诺为顾客保管财物（如提供寄存服务），否则商家对顾客随身携带的财物通常不承担严格的保管责任。但是，商家仍需尽到合理的安全保障义务，防止顾客财物在商家经营场所内丢失或受损。
三、商家可能承担的责任形式
如果商家未尽到安全保障义务：
- 商家可能需要承担赔偿责任，赔偿顾客因物品丢失而遭受的损失。赔偿金额通常根据物品的实际价值、商家的过错程度以及顾客的实际损失等因素来确定。
如果商家已尽到安全保障义务：
- 商家则不承担赔偿责任。顾客可能需要自行承担物品丢失的损失，或者通过其他途径（如保险）来寻求补偿。
四、建议与措施
对于商家：
- 完善监控系统，确保监控无死角，并定期检查监控设备的运行状况。
- 在经营场所内设置明显的安全提示标识，提醒顾客注意保管好个人财物。
- 如果提供寄存服务，应明确告知顾客寄存条款和注意事项，并妥善保管顾客寄存物品。
对于顾客：
- 在进入商家经营场所时，注意保管好个人财物，避免将贵重物品随意放置。
- 如果发现财物丢失或可能丢失，应及时通知商家并报警处理。
- 保留好相关证据（如购物凭证、监控录像等），以便在需要时维护自己的合法权益。
总结：商家是否承担责任取决于其是否尽到了合理的安全保障义务。如果商家能够证明其已经采取了合理的安全保障措施且没有过错或疏忽，那么商家可能不承担责任；否则，商家可能需要承担相应的赔偿责任。如有具体法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。