结论前置：公司无缘无故开除员工且没有签订劳动合同的情况下，员工依然有权要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。赔偿金的计算主要依据劳动者在本单位的工作年限及月工资水平，同时，由于未签订劳动合同，员工还可能主张双倍工资等其他权益。
一、赔偿金的计算与法律依据
赔偿金计算：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿的计算方式依据劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。月工资指的是劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 特殊规定：若劳动者的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。
计算公式：
- 经济补偿 = 工作年限 × 月工资（工作年限按上述规则计算，月工资为解除或终止前十二个月的平均工资）
- 赔偿金 = 经济补偿 × 2
举例说明：
- 假设员工小王在公司工作了2年零8个月，月平均工资为10000元，且当地上年度职工月平均工资为8000元（未超过三倍）。公司无故开除小王，应支付的赔偿金为：
- 经济补偿：3年 × 10000元/月 = 30000元（工作年限按3年计算）
- 赔偿金：30000元 × 2 = 60000元
二、未签订劳动合同的特殊情况
双倍工资主张：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 因此，员工除了可以主张违法解除劳动合同的赔偿金外，还可以要求公司支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额。
工作年限的认定：
- 即使未签订劳动合同，员工的工作年限依然从实际入职之日起计算。公司无法以未签订劳动合同为由否认员工的工作年限。
三、员工维权途径与建议
协商解决：
- 首先尝试与公司进行沟通协商，要求支付赔偿金和双倍工资差额。
申请调解：
- 可向企业劳动争议调解委员会、基层人民调解组织或具有劳动争议调解职能的组织申请调解。
申请仲裁：
- 若协商、调解不成或达成调解协议后不履行，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在仲裁过程中，员工需要提供相关证据证明自己与公司存在劳动关系（如工资条、工作证、考勤记录等）以及公司违法解除劳动合同的事实。
提起诉讼：
- 对仲裁裁决不服的，除法律另有规定外，可向人民法院提起诉讼。
证据收集：
- 在整个维权过程中，员工应收集并保留相关证据，以备不时之需。这些证据将有助于证明自己与公司存在劳动关系以及公司违法解除劳动合同的事实。
温馨提示：面对公司无缘无故开除且未签订劳动合同的情况，员工应保持冷静，依法维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。