针对执法人员私自不移交案件的情况，你可以通过以下途径来促使案件得到正确处理，并维护法律的公正和权威：

1. 向相关机关反映与举报

   • 内部反映：首先，你可以尝试向该执法人员所在的行政执法机关的上级主管部门或本机关负责人提出异议。详细说明案件涉嫌犯罪应当移送的理由和依据，请求上级部门进行调查核实，并督促依法处理。
   • 外部举报：如果内部反映无果，或者你认为内部处理可能存在不公正的情况，你可以向公安机关、人民检察院、监察机关或上级行政执法机关举报该执法人员不按规定移送涉嫌犯罪案件的行为。这些机关有责任及时处理你的举报，并向反馈处理结果。

2. 依靠法律监督机制

   • 人民检察院的监督：你可以向人民检察院控告申诉部门提交相关证据材料，详细说明行政执法机关不移送案件的情况及你的诉求。检察院经调查核实后，会向行政执法机关发出《建议移送涉嫌犯罪案件函》。若行政执法机关无正当理由仍不移送，检察院可向其上级主管机关提出检察意见，或直接立案侦查。这一做法有明确的法律依据，即《人民检察院刑事诉讼规则》第五百五十七条。
   • 公安机关的审查：公安机关应及时审查行政执法机关移送的涉嫌犯罪案件，并在规定时间内作出立案或不立案的决定。如果公安机关不接受移送案件或逾期不作出决定，你可以通过人民检察院依法实施立案监督，或者向相关机关反映情况。
   • 监察机关的监督：监察机关依法监督行政执法机关查处违法案件和移送涉嫌犯罪案件的工作。如果发现违纪、违法问题，监察机关将依法处理。同时，如果行政执法机关在查处违法行为过程中发现公职人员有贪污贿赂、失职渎职等行为，应及时将线索移送监察机关。

3. 法律责任与行政复议或诉讼

   • 法律责任：行政执法机关违反规定不移送涉嫌犯罪案件的，将由本级或上级人民政府、实行垂直管理的上级行政执法机关责令改正，并给予通报；拒不改正的，将对正职负责人或主持工作的负责人给予处分；构成犯罪的，依法追究刑事责任。同样，公安机关如果违反规定不接受移送案件或逾期不作出决定，也将承担相应的法律责任。
   • 行政复议与诉讼：如果你认为行政执法机关不移送涉嫌犯罪案件的行为损害了你的合法权益，你可以依法申请行政复议或提起行政诉讼。行政复议可向该行政执法机关的上一级行政机关或同级人民政府提出，要求审查并处理不移送案件的行为。行政诉讼则需在法定期限内向有管辖权的人民法院提起，由法院对行政执法机关的行政不作为进行合法性审查，并作出相应判决。

在处理此类问题时，你需要注意以下几点：

• 保留证据：在反映和举报过程中，务必保留好相关证据材料，如案件资料、举报信、回复函等，以便在需要时提供证明。
• 及时跟进：在提交举报或申请复议、诉讼后，要及时跟进处理进度，确保你的诉求得到及时回应和处理。
• 寻求专业帮助：如果你对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求专业律师的帮助，以确保你的权益得到充分维护。

希望以上建议能对你有所帮助。如果你还有其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。