核心结论：肇事司机可依据保险合同和相关法律规定，通过以下步骤向保险公司主张垫付医疗费的理赔，具体分情况处理如下：

1. 立即整理并提交理赔材料
   根据《机动车交通事故责任强制保险条例》第三十一条，保险公司需在收到赔偿申请后1日内书面告知所需材料，并在收到完整材料后10日内完成核定（属于保险责任的）。您需重点准备：

   • 交通事故责任认定书（证明责任划分）；
     
   • 医疗费发票、费用清单、诊断证明（证明费用合理性）；
     
   • 垫付凭证（如转账记录、伤者签收的收条）；
     
   • 保险合同、驾驶证、行驶证等基础材料。
     若材料缺失，保险公司可能拒赔或延迟处理，务必一次性补齐。

2. 区分保险类型主张权利

   • 交强险：医疗费用赔偿限额为1.8万元（有责情况下），您垫付的费用若在此限额内，可直接要求保险公司赔付；超出部分需通过商业险或伤者赔偿。
     
   • 商业三者险：若购买了该险种，保险公司应根据责任比例对超出交强险限额的部分进行赔偿。例如，您全责且垫付5万元，交强险赔1.8万后，剩余3.2万可由商业险赔付。
     注意：若保险合同中有“先行赔付需伤者配合”等条款，可能需通过法律途径突破限制。

3. 伤者拖延不理赔的应对策略

   • 协商解决：可与伤者沟通，要求其签署《赔偿权利转让书》，将理赔请求权转让给您，由您直接向保险公司索赔（需保险公司同意）。
     
   • 诉讼途径：若协商无果，您可凭垫付凭证、责任认定书等证据，以“不当得利”或“保险合同纠纷”为由起诉伤者或保险公司，要求返还垫付款。
     法律依据：《民法典》第122条（不当得利）、第985条（得利人没有法律根据取得不当利益的，受损失的人可以请求得利人返还）。

4. 保险公司拒赔的救济途径
   若保险公司以“伤者未配合”等理由拒赔，您可：

   • 向当地银保监会投诉（12378热线），要求监管部门督促处理；
     
   • 直接起诉保险公司，要求履行赔付义务（需证明垫付费用合理且属于保险责任范围）。
     

温馨提示：处理过程中务必保留所有书面证据（如沟通记录、邮件、短信），避免口头约定；若伤者伤情未稳定，可暂缓处理，待其治疗终结后一并结算。如有复杂情况（如涉及伤残鉴定、多车事故等），可进一步向我咨询具体操作方案。