结论：民事案件未上诉申请再审被驳回后，当事人是可以向检察院申请民事诉讼监督的。

一、法律依据与制度意义

1. 法律依据：根据《中华人民共和国民事诉讼法》第209条及《人民检察院民事诉讼监督规则》，当事人对生效判决、裁定认为存在错误且符合法定情形的（如原判决证据不足、适用法律错误等），在再审申请被驳回后，可依法向检察院申请监督。

2. 制度意义：

   • 补充救济途径：这一制度设计弥补了单一司法纠错机制的局限性，为当事人提供了额外的救济途径，有助于防止冤假错案的发生。
   • 强化法律监督：通过检察权的介入，对审判权进行制约，从而维护司法的公正与权威。
   • 保障公民权利：为弱势群体或缺乏专业能力的当事人提供了兜底性的救济，确保他们的合法权益得到保障。

二、申请条件与材料

1. 申请条件：

   • 原判决/裁定存在《民事诉讼法》第207条规定的情形，如新证据、程序违法等。
   • 再审申请被法院驳回或逾期未处理。
   • 其他损害国家利益、社会公共利益的情形。

2. 申请材料清单：

   • 监督申请书：需明确请求事项、事实理由及证据。
   • 身份证明：个人需提供身份证复印件；法人需营业执照副本。
   • 法律文书：包括原判决书、裁定书、再审驳回通知书等。
   • 证据材料：支持监督申请的证据目录及原件/复印件。

三、申请流程与监督措施

1. 申请流程：

   • 提交申请：向作出生效裁判法院的同级检察院递交材料。
   • 形式审查：检察院在7日内决定是否受理。
   • 实质审查：调取卷宗、询问当事人、必要时组织听证。
   • 作出决定：3个月内出具监督意见书（复杂案件可延长1个月）。

2. 检察院可能采取的监督措施：

   • 抗诉：若原判决/裁定存在重大错误，影响实体结果，检察院可提出抗诉，启动再审程序。
   • 检察建议：包括再审检察建议（向法院提出）和改进工作检察建议（针对司法瑕疵）。再审检察建议需法院审查回复，但实践中常引发再审。
   • 支持起诉/调查核实：对弱势群体提起公益诉讼提供支持，或通过调阅卷宗、委托鉴定等方式查明案件事实。

四、注意事项与风险提示

1. 时限要求：自知道或应当知道权益受损之日起6个月内提出申请。超过时限需提供合理说明，否则可能被不予受理。

2. 证据标准：需提供足以推翻原判决的新证据或证明程序违法的材料。单纯重复再审理由的申请通常难以获得支持。

3. 滥用风险：虚假申请可能导致罚款、拘留甚至刑事责任（《刑法》第307条之一）。恶意缠诉可能影响个人信用记录。

五、实际案例与启示

以甲公司合同纠纷案为例，甲公司因合同纠纷败诉，再审申请被驳回后向检察院申请监督。检察院经审查发现原审中关键证据未经质证，遂提出抗诉。法院再审后改判甲公司胜诉。这一案例启示我们，程序违法是重要监督事由（如剥夺辩论权、遗漏必要共同诉讼人等），且专业律师的介入可提高申请成功率。

综上所述，民事案件未上诉申请再审被驳回后，当事人有权向检察院申请民事诉讼监督。在申请过程中，需严格遵守相关法律规定和程序要求，确保申请内容的真实性和合法性。若对程序不熟悉或存在疑问，可直接向我咨询，我将为你提供专业的法律帮助。