未履行法定职责的复议期限通常为六十日，但具体起算时间和特殊情况下的期限可能有所不同。以下是对这一问题的详细解析：

一、一般原则

根据《中华人民共和国行政复议法》第二十条的规定，公民、法人或者其他组织认为行政行为侵犯其合法权益的，可以自知道或者应当知道该行政行为之日起六十日内提出行政复议申请。这一原则同样适用于行政机关不履行法定职责的情形。也就是说，一旦你意识到行政机关未履行其应尽的法定职责，从该日起六十日内，你可以提出行政复议申请。

二、特殊起算点

对于行政机关不履行法定职责这种不作为的情况，虽然法律没有直接规定起算点的具体细节，但可结合一般原则进行理解，并存在一些特殊起算点：

1. 有明确履行期限：若法律、法规、规章或其他规范性文件对行政机关履行法定职责有明确的期限规定，行政机关超过该期限仍未履行职责的，从申请人知道或应当知道该不作为行为之日起计算行政复议申请期限（原则上六十日）。例如，行政机关明确告知你在30个工作日内会给出审批结果，但期限届满后未履行，则从30个工作日届满且你知晓之日起开始计算60日的申请期限（若法律无特别规定）。
2. 无明确履行期限：若申请人能够明确知道或者根据常理应当知道行政机关应当在某个特定时间履行法定职责，但行政机关未履行，那么从该特定时间届满且申请人知道或应当知道该不作为行为之日起计算申请期限（原则上不超过六十日，除非法律规定更长）。
3. 紧急情况：在紧急情况下，如公民遭遇正在发生的暴力侵害向公安机关求救而公安机关无故拖延不出警，此时虽无明确“知道不作为”的时间点，但你可基于紧迫性立即申请行政复议，不受六十日限制（但需注意后续可能需补充证明材料说明紧急情况及知道不作为的合理性）。

三、特殊情况下的期限延长

1. 不可抗力或其他正当理由：因不可抗力或者其他正当理由耽误法定申请期限的，申请期限自障碍消除之日起继续计算。这确保了你在面临不可抗拒因素或合理障碍时，仍有机会维护自己的合法权益。
2. 未告知复议权利和期限：若行政机关作出行政行为（包括不作为）时，未告知你申请行政复议的权利、行政复议机关和申请期限的，申请期限自你知道或者应当知道申请行政复议的权利、行政复议机关和申请期限之日起计算，但是自知道或者应当知道行政行为内容之日起最长不得超过一年。

四、实际操作建议

1. 及时行使权利：你应在规定的期限内提出行政复议申请，以免因逾期而丧失救济权利。
2. 保留证据：在申请行政复议时，你应提供充分的证据证明行政机关存在不履行法定职责的行为，以便复议机关能够准确认定事实并作出公正裁决。

举例说明：假设你向某行政机关提交了一项申请，该机关应在30个工作日内给出审批结果。但期限届满后，该机关未给出任何答复。此时，你从第31个工作日开始知道该机关未履行法定职责，那么你应在接下来的60日内提出行政复议申请。如果因不可抗力（如自然灾害）导致你无法按时申请，你可以在障碍消除后继续申请，但需提供相关证明材料。

如果你在未履行法定职责的复议期限方面还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。