行政机关不履职申请行政复议的期限，一般为自知道或者应当知道该不作为行为之日起六十日内，但特殊情况下可能有所调整。以下是对该问题的详细分析：
一、一般原则
根据《中华人民共和国行政复议法》第二十条，公民、法人或者其他组织认为行政行为侵犯其合法权益的，可以自知道或者应当知道该行政行为之日起六十日内提出行政复议申请；但是法律规定的申请期限超过六十日的除外。这一规定同样适用于行政机关不履行法定职责的情形。
二、针对不作为行为的特殊判断
对于行政机关不履行法定职责这种不作为的情况，虽然法律没有直接规定起算点的具体细节，但可结合一般原则进行理解：
明确知道或应当知道的时间点：
- 若申请人能够明确知道或者根据常理应当知道行政机关应当在某个特定时间履行法定职责，但行政机关未履行，那么从该特定时间届满且申请人知道或应当知道该不作为行为之日起计算申请期限（原则上不超过六十日，除非法律规定更长）。例如，若行政机关明确告知申请人在30个工作日内会给出审批结果，但期限届满后未履行，则从30个工作日届满且申请人知晓之日起开始计算60日的申请期限（若法律无特别规定）。
法律、法规、规章或其他规范性文件有明确期限规定：
- 若法律、法规、规章或其他规范性文件对行政机关履行法定职责有明确的期限规定，行政机关超过该期限仍未履行职责的，同样从申请人知道或应当知道该不作为行为之日起计算行政复议申请期限（原则上六十日）。
紧急情况下的特殊处理：
- 在紧急情况下，如公民遭遇正在发生的暴力侵害向公安机关求救而公安机关无故拖延不出警，此时虽无明确“知道不作为”的时间点，但申请人可基于紧迫性立即申请行政复议，不受六十日限制（但需注意后续可能需补充证明材料说明紧急情况及知道不作为的合理性）。
三、特殊情况下的期限延长
不可抗力或其他正当理由：
- 因不可抗力或者其他正当理由耽误法定申请期限的，申请期限自障碍消除之日起继续计算。这确保了申请人在面临不可抗拒因素或合理障碍时，仍有机会维护自己的合法权益。
未告知申请复议权利、机关和期限的情况：
- 若行政机关作出行政行为（包括不作为）时，未告知公民、法人或者其他组织申请行政复议的权利、行政复议机关和申请期限的，申请期限自公民、法人或者其他组织知道或者应当知道申请行政复议的权利、行政复议机关和申请期限之日起计算，但是自知道或者应当知道行政行为内容之日起最长不得超过一年。
四、实际操作建议
及时了解相关法律法规：
- 申请人应充分了解《中华人民共和国行政复议法》及相关法律法规中关于申请期限的规定，以确保自己的申请合法有效。
保留相关证据材料：
- 在申请行政复议时，申请人应准备充分的证据材料，以证明行政机关的不作为行为以及自己知道或应当知道该行为的时间点。
及时咨询与申请：
- 若对申请期限或相关程序有疑问，申请人应及时向我咨询，以便在法定期限内正确行使自己的权利。
综上所述，行政机关不履职申请行政复议的期限并非一成不变，而是需根据具体情况和法律规定来判断。申请人应充分了解相关法律法规和地区性规定，并在必要时寻求专业咨询，以确保自己的申请合法有效。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。