面对饭店客人声称吃坏肚子却又不提供直接证据的情况，作为饭店方，我们可以采取以下详细且有条理的处理步骤来应对：
一、理解客人诉求，表达关切
首先，我们要对客人的不适表示真诚的关切和歉意，让客人感受到我们的重视和愿意解决问题的态度。这有助于缓解客人的情绪，为后续沟通打下良好基础。
二、引导客人提供间接证据
虽然客人没有直接证据，但我们可以引导他们提供一些间接证据来支持其说法：
剩余食物与包装：询问客人是否还有剩余的食物或包装，如果有，建议客人妥善保存，并告知我们饭店可以协助进行冷藏保存，以备后续可能的检测。
消费凭证：请客人提供餐厅的发票、外卖订单记录等消费凭证，以证明消费时间、地点及食品来源。
就医记录：如果客人已经就医，请他们提供病历、检查报告、诊断证明及医药费发票等医疗资料，这些资料可以证明客人身体不适与食用食品之间的时间关联。
证人证言：询问客人是否有同行者也出现类似症状，或者就餐时是否有其他目击者，他们的证言可以作为佐证。
拍照录像：如果客人在就餐过程中或发病时拍摄了照片或录像，这些也可以作为辅助证据。
三、与客人友好协商
在收集到一些间接证据后，我们可以与客人进行友好协商，说明我们的立场和愿意承担的责任。在协商过程中，我们要保持平和的态度，避免与客人发生争执。同时，我们要保留好协商的记录，无论是面对面沟通还是通过电话、微信等方式，以备后续使用。
四、向相关部门报告并配合调查
如果协商无果，或者客人坚持认为是我们饭店的责任，我们可以主动向消费者协会、食品药品监督管理局或市场监督管理部门等相关部门报告情况，并配合他们的调查。在报告时，我们要提供客人提供的间接证据以及我们饭店的相关记录和资料。
五、考虑法律途径（如必要）
如果经过上述步骤仍然无法解决问题，且我们饭店认为自身并无过错，那么我们可以考虑咨询专业律师，了解我们的法律权益和可能的维权策略。在律师的指导下，我们可以决定是否向法院提起民事诉讼。虽然缺乏直接证据，但如果间接证据形成的证据链足以证明因果关系，法院仍可能支持我们的诉求。
六、注意事项
在整个处理过程中，我们要保持冷静理性，避免情绪化言辞。同时，我们要认识到维权是一个需要时间和耐心的过程，要做好心理准备并坚持自己的合法权益。
综上所述，面对客人声称吃坏肚子却又不提供直接证据的情况，我们饭店方应通过理解客人诉求、引导提供间接证据、友好协商、向相关部门报告并配合调查以及考虑法律途径等步骤来应对。这样既能维护客人的合法权益，也能保护我们饭店的声誉和利益。