结论前置：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，再审程序的启动主要依据第二百零七条、第二百一十八条及第二百一十九条等条款。以下是对这些条款的详细解释及再审程序启动的相关说明。
一、当事人申请再审的法律依据及情形
法律依据：
- 《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条详细列举了当事人申请再审的法定情形。
法定情形：
- 包括有新的证据足以推翻原判决、裁定；
- 原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明；
- 主要证据是伪造或未经质证；
- 当事人因客观原因不能自行收集的主要证据未获法院调查收集；
- 原判决、裁定适用法律错误；
- 审判组织不合法或应回避人员未回避；
- 无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼；
- 剥夺当事人辩论权利；
- 未经传票传唤缺席判决；
- 原判决、裁定遗漏或超出诉讼请求；
- 据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或变更；
- 审判人员有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为等。
申请期限：
- 当事人申请再审，一般应在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出。特定情形下（如有新证据），自知道或应当知道之日起六个月内提出。
二、人民法院决定再审的法律依据及情形
法律依据：
- 人民法院决定再审主要依据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，特别是关于审判监督程序的部分。
法定情形：
- 各级人民法院院长对本院已生效的判决、裁定、调解书发现确有错误，应提交审判委员会讨论决定再审。
- 最高人民法院或上级人民法院对下级法院已生效的判决、裁定、调解书发现确有错误，有权提审或指令下级法院再审。
三、人民检察院抗诉或检察建议启动再审的法律依据及情形
法律依据：
- 《中华人民共和国民事诉讼法》第二百一十八条及第二百一十九条规定了人民检察院抗诉或检察建议启动再审的情形。
法定情形：
- 最高人民检察院对各级法院已生效的判决、裁定，上级检察院对下级法院已生效的判决、裁定，发现有再审情形或调解书损害国家利益、社会公共利益的，应提出抗诉。
- 地方各级检察院对同级法院已生效的判决、裁定，可提出检察建议或提请上级检察院抗诉。
四、再审案件的审查与审理程序
审查程序：
- 人民法院应自收到再审申请书之日起三个月内审查，符合法定情形的，裁定再审；不符合的，裁定驳回申请。特殊情况可延长。
审理程序：
- 再审案件适用原审程序。一审案件按一审程序审理，所作判决、裁定可上诉；二审案件或上级法院提审的案件按二审程序审理，所作判决、裁定为终审判决、裁定。
五、再审案件的调解及裁判
调解：
- 人民法院审理再审案件，可以进行调解。当事人在再审中经调解达成协议的，法院应制作调解书。调解书经各方当事人签收后，即具有法律效力，原判决、裁定视为被撤销。
裁判：
- 再审案件经过重新审理后，法院应根据不同情况作出相应裁判：原判决、裁定认定事实清楚、适用法律正确的，应予维持；认定事实、适用法律虽有瑕疵，但裁判结果正确的，纠正瑕疵后予以维持；认定事实、适用法律错误，导致裁判结果错误的，依法改判、撤销或变更。
六、其他注意事项
- 当事人对已经发生法律效力的解除婚姻关系的判决、调解书，不得申请再审。
- 申请再审不得超出原审诉讼请求，在再审案件审理过程中，当事人也不得变更、增加诉讼请求或者提出反诉（原审已反诉的除外）。
总结与建议：再审程序是民事诉讼法中一项重要的救济制度，旨在纠正错误的裁判，保障当事人的合法权益，维护司法公正。当事人在认为原判决、裁定存在错误时，可以依据上述法律规定申请再审。同时，人民法院和人民检察院在发现确有错误的裁判时，也有权决定再审或提出抗诉。在实际操作中，建议当事人充分了解并遵循相关法律规定，以确保自身权益得到有效保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。