在执行期间，当事人确实有权申请再审。以下是对此问题的详细解答：

一、法律依据与原则

根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。这一规定确保了司法裁决的纠错机制，也维护了当事人的合法权益。执行期间作为法律文书生效后的一段时间，并不剥夺当事人申请再审的权利。

二、申请再审的条件

当事人申请再审需要满足一定的条件，这些条件包括但不限于：

1. 主要证据不足：原判决、裁定认定事实的主要证据不足，可能影响案件的正确裁决。
2. 适用法律错误：原判决、裁定适用法律确有错误，包括适用法律条款不当或解释错误等。
3. 程序违法：审判程序违反法律规定，如未给予当事人充分陈述机会、剥夺辩论权利等，可能影响案件的公正裁决。
4. 其他情形：如审判人员有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等行为，或者有新的证据足以推翻原判决、裁定等。

三、申请再审的期限与材料

1. 时间限制：当事人申请再审一般应在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出。这是为了保障司法裁决的稳定性和权威性。超过此时限，除非有新证据足以推翻原判决、裁定，或原证据系伪造等特定情形，否则将丧失再审申请权。
2. 准备材料：申请再审时，当事人应当提交再审申请书等材料，并按照法院的要求进行补正。再审申请书应当载明申请再审的事实与理由，以及支持这些事实与理由的证据。

四、再审与执行的关系

1. 不停止执行原则：申请再审并不自动停止执行程序。这是因为执行程序是确保生效法律文书得到履行的重要手段，不能因为申请再审而轻易中断。
2. 中止执行的可能性：若再审法院审查发现案件符合法定情形，如原判决可能存在重大错误且继续执行将造成难以弥补的损失，法院可裁定中止执行。这是为了保障当事人的合法权益，避免因错误执行而造成不可挽回的损失。
3. 执行回转：若再审改判，对已执行的财产，法院将责令取得者返还；拒不返还的，将强制执行回转。这是为了纠正错误执行，恢复当事人的合法权益。

五、实际操作建议

1. 及时申请：如果当事人认为原判决、裁定存在错误，且符合再审条件，应当及时向上一级人民法院申请再审，以免错过申请期限。
2. 充分准备：在申请再审前，当事人应当充分准备相关证据和材料，以支持自己的再审申请。
3. 与执行法院沟通：在申请再审的同时，当事人也可以与执行法院沟通，了解执行进展情况，并表达自己的诉求和意见。

总结来说，执行期间当事人有权申请再审，但需要满足一定的条件，并遵守申请期限和准备相关材料。同时，再审申请并不自动停止执行程序，但法院在审查过程中可能会根据情况裁定中止执行。如果你在执行期间遇到相关问题，或者对再审程序有任何疑问，都可以直接向我咨询。