结论前置：您可以起诉对方，对方的行为涉嫌侵占罪，同时您也有权要求对方返还手机或赔偿相应损失。以下从多个角度为您详细分析：
一、法律角度分析
侵占罪的认定：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，侵占罪是指以非法占有为目的，将他人的交给自己保管的财物、遗忘物或者埋藏物非法占为己有，数额较大，拒不交还的行为。
- 在您的情况下，手机是您遗失的财物，对方捡到后未归还，且只给了您500元，这明显低于手机的实际价值4000元，可以视为对方以非法占有为目的，拒不交还您的财物，数额较大，因此对方的行为涉嫌侵占罪。
民事侵权责任：
- 除了刑事责任外，对方的行为还构成了民事侵权。您有权要求对方返还手机或赔偿因手机丢失而给您造成的损失。
- 如果手机已经无法找回，您可以要求对方按照手机的实际价值进行赔偿。
二、诉讼流程与建议
收集证据：
- 在起诉前，您需要收集足够的证据来证明对方捡到了您的手机且未归还。这可以包括监控录像、目击者证言、与对方的沟通记录等。
- 同时，您也需要提供手机的购买凭证或价值评估报告等证据，以证明手机的实际价值。
向公安机关报案：
- 由于对方的行为涉嫌侵占罪，您可以先向公安机关报案，由公安机关进行调查取证。
- 如果公安机关认为对方的行为构成犯罪，将会依法立案侦查，并可能将案件移送至检察机关审查起诉。
提起民事诉讼：
- 无论公安机关是否立案侦查，您都可以同时向法院提起民事诉讼，要求对方返还手机或赔偿损失。
- 在民事诉讼中，您需要提交起诉状、证据材料等文件，并按照法院的要求参加庭审等活动。
三、可能面临的法律后果
刑事责任：
- 如果对方的行为被认定为侵占罪，且数额较大，对方可能会面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役或罚金等。
民事责任：
- 无论对方是否承担刑事责任，您都有权要求对方承担民事责任，即返还手机或赔偿损失。
- 如果法院判决对方承担民事责任，而对方拒不履行判决，您还可以申请法院强制执行。
四、实际操作建议
- 及时行动：由于时间越长，证据可能越难收集，且手机的价值可能因使用而降低，因此建议您尽快采取行动，收集证据并向公安机关报案或向法院提起诉讼。
- 咨询专业律师：虽然我已经为您提供了一些基本的法律建议，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，在实际操作过程中，您可能还需要咨询专业律师以获取更具体的法律指导。不过，在这里您就可以直接向我咨询，我会尽我所能为您提供帮助。
最后，我希望您能够顺利解决这个问题，并维护好自己的合法权益。如果您在诉讼过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。