检察院终结刑事案件后，公安机关的处理方式需根据具体终结情形来确定，主要分为以下两种情况：

1. 检察院作出不起诉决定时
   根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百七十七条、第一百七十八条的规定，检察院作出不起诉决定后，公安机关应当立即释放被不起诉人，并将执行回执在三日以内送达检察院。若案件涉及查封、扣押、冻结的财物，公安机关需根据检察院的书面通知解除相关措施，并及时返还财产；对需要没收违法所得的，应提出处理意见并移送检察院审查决定。此外，若公安机关认为不起诉决定有错误，可在收到决定书后七日以内向上一级检察院申请复议，复议期间需继续执行原决定。

2. 检察院撤回起诉或法院裁定终止审理时
   若案件已进入审判阶段，检察院因证据不足等情形撤回起诉，或法院裁定终止审理，公安机关需根据法院或检察院的书面通知，对在押犯罪嫌疑人变更强制措施（如取保候审、监视居住）或释放。对于已查封、扣押的财物，需在收到通知后三日内解除措施并返还；若财物涉及其他案件或需没收，公安机关应依法移送相关部门处理。

补充说明：

• 程序衔接：公安机关在收到检察院或法院的书面通知后，需严格在法定期限内执行，逾期未执行的可能面临内部纪律处分或司法监督。
  
• 证据处理：若案件终结后发现新证据，公安机关可依据《刑事诉讼法》第一百七十五条重新启动侦查程序，但需重新获得检察院的批准逮捕或起诉决定。
  
• 权利救济：被不起诉人或犯罪嫌疑人对公安机关的处理有异议的，可通过申诉、控告等途径维护权益，公安机关需依法受理并反馈处理结果。
  

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