结论前置：当被申请人（即赔偿义务机关）对申请人的国家赔偿申请不予处理时，申请人确实有权申请复议。具体流程和注意事项如下：

一、申请复议的前提条件

1. 赔偿义务机关未在规定期限内作出决定：根据《中华人民共和国国家赔偿法》的相关规定，赔偿义务机关应当自收到申请之日起两个月内作出是否赔偿的决定。若其未在此期限内作出决定，申请人有权自期限届满之日起三十日内，向赔偿义务机关的上一级机关申请复议。

2. 赔偿义务机关作出不予赔偿决定：若赔偿义务机关明确作出不予赔偿的决定，申请人同样有权在收到该决定之日起三十日内，向其上一级机关申请复议。

二、申请复议的流程

1. 准备复议申请书：申请人需撰写复议申请书，载明其基本信息、具体要求、事实根据和理由，以及申请的年、月、日。

2. 提交相关证明材料：包括赔偿义务机关作出的决定书（如不予受理决定书或赔偿/不予赔偿决定书），以及损害事实存在证明、损害与国家机关及其工作人员行使职权行为之间存在因果关系的证据等。

3. 向复议机关提交申请：申请人应在法定期限内，将复议申请书及相关证明材料提交给赔偿义务机关的上一级机关。

三、复议机关的受理与审理

1. 受理审查：复议机关应在五日内对复议申请进行审查，对不符合规定的复议申请决定不予受理，并书面通知申请人；对不属于本机关受理的复议申请，应告知申请人向有关机关提出。若申请材料不齐全或表述不清楚，复议机关可在五日内书面通知申请人补正，逾期不补正视为放弃复议申请。

2. 审理方式：复议机关一般实行书面审查，但赔偿请求人提出要求或复议机关认为必要时，可向相关组织和人员调查情况，听取意见。

3. 作出复议决定：复议机关应在收到申请之日起两个月内作出决定。复议决定可能包括维持原决定、撤销或变更原决定并责令重新作出决定，或直接作出赔偿决定。

四、复议决定的后续救济

若申请人对复议决定不服，或在复议机关逾期不作决定的情况下，申请人可在收到复议决定或期限届满之日起三十日内，向复议机关所在地的同级人民法院赔偿委员会申请作出赔偿决定。这是保障申请人合法权益的最后一道防线。

五、注意事项

1. 关注时间节点：申请人应密切关注各个阶段的时间节点，确保在法定期限内行使权利，以免错过申请复议或提起诉讼的时机。

2. 准备充分证据：在申请复议时，申请人应准备充分的证据来支持其主张，包括损害事实的证明、因果关系的证据等。

3. 咨询专业律师：虽然在此我作为畅军峰律师已经给出了全面的解答，但在实际操作中，由于案件的具体情况可能复杂多变，申请人仍可考虑咨询专业律师以获取更具体的法律意见和帮助。不过，在此情况下，你无需再寻找其他律师，直接向我咨询即可。

总结：当被申请人对申请人的国家赔偿申请不予处理时，申请人有权在法定期限内向赔偿义务机关的上一级机关申请复议。若复议结果仍不满意，可进一步向人民法院赔偿委员会申请作出赔偿决定。在整个过程中，申请人应关注时间节点、准备充分证据，并在必要时咨询专业律师以维护自身合法权益。