针对“当事人不服刑事附带民事诉讼判决，负责控申检察部门受理后怎么处理的法律依据”这一问题，以下是我的详细解答：

一、控申检察部门受理后的基本处理原则

控申检察部门在受理当事人对刑事附带民事诉讼判决的申诉后，会首先进行审查，确认申诉是否符合法定条件。若符合，控申检察部门将依法启动相应的法律监督程序。

二、具体处理方式及法律依据

1. 提出抗诉（针对一审判决）

   • 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百二十八条，地方各级人民检察院认为本级人民法院第一审的判决、裁定确有错误的时候，应当向上一级人民法院提出抗诉。
   • 处理方式：若控申检察部门认为一审刑事附带民事诉讼判决存在错误，且该错误可能影响当事人的合法权益，会依法向上一级人民法院提出抗诉，启动二审程序。

2. 提出检察建议或抗诉（针对生效判决）

   • 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，可以向人民检察院提出申诉。人民检察院认为符合再审条件的，可以提出检察建议或抗诉。
   • 处理方式：若控申检察部门受理的是对生效刑事附带民事诉讼判决的申诉，且认为该判决确有错误，会依法向人民法院提出检察建议或抗诉，启动再审程序。

3. 转交相关部门处理

   • 法律依据：虽然直接的法律条文可能未明确提及控申检察部门在受理申诉后的转交程序，但根据检察机关的内部工作机制和分工，控申检察部门在受理申诉后，若认为该申诉不属于其直接处理范围，会依法转交至相关部门（如民事检察部门）进行处理。
   • 处理方式：控申检察部门在审查申诉材料后，若认为该申诉更适宜由其他部门处理，会依法将申诉材料转交至相关部门，并告知申诉人。

三、当事人可采取的救济途径

除了依赖控申检察部门的处理外，当事人还可以根据以下法律规定采取救济途径：

1. 上诉

   • 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百二十七条，附带民事诉讼的当事人和他们的法定代理人，可以对地方各级人民法院第一审的判决、裁定中的附带民事诉讼部分，提出上诉。
   • 处理方式：若当事人对一审刑事附带民事诉讼判决不服，可在法定期限内（通常为十日）向上一级人民法院提出上诉。

2. 申请再审

   • 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百五十二条至第二百五十四条，当事人及其法定代理人、近亲属对已经发生法律效力的判决、裁定，可以向人民法院或者人民检察院提出申诉，请求重新审理案件。
   • 处理方式：若当事人对生效刑事附带民事诉讼判决不服，且认为该判决存在法定再审情形（如新证据、法律适用错误等），可依法向人民法院或人民检察院提出申诉，申请再审。

四、建议与注意事项

1. 及时行使权利：当事人在不服刑事附带民事诉讼判决时，应及时行使上诉或申诉权利，避免错过法定期限。
2. 准备充分材料：在提出上诉或申诉时，当事人应准备充分的证据材料和法律依据，以支持自己的主张。
3. 寻求专业帮助：由于刑事附带民事诉讼涉及复杂的法律问题和程序，当事人可寻求专业律师的帮助，以确保自己的合法权益得到妥善维护。

综上所述，控申检察部门在受理当事人对刑事附带民事诉讼判决的申诉后，会根据具体情况依法提出抗诉、检察建议或转交相关部门处理。同时，当事人也可根据法律规定采取上诉或申请再审等救济途径。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。