针对您亲人外地工作时从楼梯摔下导致脑死亡的情况，要找到证据证明这一事实，可以从以下几个关键方面入手，我会为您详细梳理并说明具体操作：

1. 及时固定现场证据

   • 现场照片/视频：立即拍摄楼梯现场全貌（包括台阶高度、宽度、破损情况、照明条件、地面湿滑程度等），重点记录可能引发摔倒的隐患（如积水、杂物、缺失的扶手等）。若现场有监控，需第一时间联系物业或管理方保存录像（注意：监控通常仅保存7-15天，逾期可能被覆盖）。
     
   • 证人证言：寻找目击者（如同事、路人、保洁人员等），记录其联系方式并请其书面陈述事发经过（包括时间、地点、摔倒姿势、现场环境等）。若证人不愿书面作证，可录音取证（需明确告知对方正在录音并征得同意）。

2. 医疗证据的收集与固定

   • 抢救记录：向医院索取完整的病历资料，包括急诊记录、手术记录、脑死亡诊断证明（需加盖医院公章）。脑死亡需由专业医生根据《脑死亡判定标准与技术规范》进行判定，重点确认判定时间、参与医生资质及判定依据（如脑电图、血流动力学监测等）。
     
   • 死亡证明：若亲人已去世，需取得公安机关出具的《死亡医学证明书》，其中会载明死亡原因（如“高处坠落致重型颅脑损伤，脑功能永久性丧失”）。
     
   • 医疗费用单据：保留所有治疗相关的发票、费用清单，后续可能涉及工伤赔偿或侵权责任赔偿的计算。

3. 工作关系与事故性质的证明

   • 劳动关系证明：收集劳动合同、工资条、社保缴纳记录、工作证等，证明亲人与用人单位存在劳动关系（若未签合同，可通过工资转账记录、同事证言等佐证）。
     
   • 工伤认定申请：根据《工伤保险条例》，若事故发生在工作时间、工作场所内因工作原因导致，可向用人单位所在地社保部门申请工伤认定。需提交工伤认定申请表、劳动关系证明、医疗诊断证明等材料（通常需在事故发生后30日内由单位申请，单位未申请的，亲属可在1年内直接申请）。
     
   • 非工伤情形的证据：若事故非因工作原因（如下班后私自活动时摔倒），需收集相关证据（如考勤记录、同事证言等）排除工伤可能，后续可能按一般人身损害赔偿处理。

4. 其他辅助证据

   • 通讯记录：若亲人事发前曾与同事或家人沟通工作安排（如“去楼梯间拿工具”），可保留短信、微信等聊天记录，证明事故与工作相关。
     
   • 现场物证：如亲人摔倒时携带的物品（工具、文件等）若能证明其当时在工作状态，可一并收集作为证据。

行动建议：

• 立即联系用人单位，要求其配合保存现场监控、提供工伤认定所需材料，并书面说明事故经过。
  
• 若用人单位拒绝配合，可向当地劳动监察大队投诉或直接申请劳动仲裁，同时委托律师介入调查取证。
  
• 若涉及第三方责任（如楼梯维护方未尽安全义务），需在1年内向法院提起人身损害赔偿诉讼，注意诉讼时效问题。
  

整个过程中，所有证据需尽量保持原始载体（如手机录像、纸质病历），若需复印或扫描，需加盖提供单位的公章以确保证据效力。如有具体操作疑问，可随时向我咨询，我会根据证据情况为您制定进一步方案。