结论：孩子打闹导致骨折，并非必须私下签署协议，是否签署协议取决于具体情况和双方意愿。以下从不同角度进行分析：
一、法律责任角度
监护人责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，无民事行为能力人、限制民事行为能力人造成他人损害的，由监护人承担侵权责任。因此，如果孩子打闹导致另一方孩子骨折，受伤孩子的监护人有权要求打闹孩子的监护人承担相应的赔偿责任。
- 在这种情况下，双方监护人可以通过协商，就赔偿事宜达成一致，并签署书面协议以明确双方的权利和义务。但签署协议并非法律强制要求，而是双方自愿选择的结果。
学校或教育机构责任：
- 如果孩子是在学校或教育机构内打闹导致骨折，且学校或教育机构未尽到教育、管理职责的，应当承担相应的责任。此时，受伤孩子的监护人可以与学校或教育机构协商赔偿事宜，同样可以选择签署协议来明确责任和赔偿方式。
二、协议签署的利弊分析
签署协议的益处：
- 明确责任：协议可以明确双方的责任和赔偿方式，避免后续因责任不清而产生的纠纷。
- 保障权益：对于受伤孩子一方，协议可以确保其获得应有的赔偿；对于打闹孩子一方，协议可以明确其赔偿责任，避免被过度索赔。
- 法律效应：一旦签署协议，双方应遵守协议内容，如一方违约，另一方可以依据协议向法院提起诉讼，要求违约方承担法律责任。
不签署协议的考量：
- 协商解决：如果双方能够友好协商，就赔偿事宜达成一致，且双方对协商结果满意，那么不签署协议也是可行的。
- 法律途径：如果协商不成，双方可以选择通过法律途径解决纠纷，如向法院提起诉讼或申请仲裁等。在这种情况下，不签署协议并不会影响双方的法律权益。
三、建议与注意事项
建议签署协议的情况：
- 如果双方对赔偿事宜存在争议，或者担心后续可能产生纠纷，建议签署书面协议以明确双方的权利和义务。
- 如果涉及金额较大或情况复杂，建议咨询专业律师的意见，以确保协议的合法性和有效性。
不签署协议时的注意事项：
- 如果选择不签署协议，双方应保留好相关证据，如医疗记录、证人证言等，以备后续可能产生的纠纷。
- 在协商过程中，双方应保持冷静和理性，避免情绪化导致协商破裂。
总结：孩子打闹导致骨折并非必须私下签署协议，是否签署取决于具体情况和双方意愿。在处理此类纠纷时，建议双方首先尝试友好协商，并根据协商结果决定是否签署协议。如果协商不成或情况复杂，建议咨询专业律师的意见以维护自身合法权益。如有任何法律问题，可以直接向我咨询。