结论：六年级孩子打闹导致骨折，并非必须私下签署协议，是否签署协议取决于双方意愿及具体情况。以下从不同角度进行分析：
法律责任角度：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，无民事行为能力人（如不满8周岁的未成年人）或限制民事行为能力人（如8周岁以上的未成年人）造成他人损害的，由其监护人承担侵权责任。在此案例中，若骨折是由于一方孩子的过失或故意行为导致，那么该孩子的监护人可能需要承担相应的赔偿责任。
- 私下签署协议可以是双方就赔偿事宜达成一致的一种方式，但它并非法律上的必经程序。如果双方能够就赔偿金额、方式等达成一致，并且这种一致是自愿、公平、合法的，那么签署协议是有益的，可以作为后续履行和纠纷解决的依据。
协议签署的必要性：
- 自愿性：协议的签署必须是双方自愿的，不能存在强迫或欺诈的情况。如果一方或双方对协议内容有异议，或者签署协议时受到不正当影响，那么该协议可能无效。
- 公平性：协议的内容应当公平合理，不能损害任何一方的合法权益。例如，赔偿金额应当与实际损失相符，不能过高或过低。
- 合法性：协议的内容必须符合法律法规的规定，不能违反公序良俗或损害社会公共利益。
不签署协议的情况：
- 如果双方对赔偿事宜无法达成一致，或者认为签署协议不是必要的，那么可以选择不签署协议。在这种情况下，如果后续发生纠纷，双方可以通过协商、调解、仲裁或诉讼等方式解决。
- 特别是当涉及未成年人时，由于他们的认知能力和行为能力有限，因此更需要谨慎处理。在必要时，可以寻求专业律师或相关机构的帮助，以确保双方的权益得到妥善保护。
建议：
- 在处理此类纠纷时，建议双方保持冷静和理性，通过友好协商的方式解决问题。如果协商无果，可以考虑寻求第三方调解或专业律师的帮助。
- 如果决定签署协议，建议确保协议内容明确、具体、合法，并且双方都有充分的了解和同意。在签署前，最好由专业律师对协议进行审查，以确保其合法性和有效性。
后续行动建议：
- 如果双方已经就赔偿事宜达成一致，并且认为签署协议是必要的，那么可以准备一份详细的协议草案，并邀请专业律师进行审查。
- 如果双方无法就赔偿事宜达成一致，或者对协议内容有异议，那么建议寻求第三方调解或专业律师的帮助，以寻求更合理的解决方案。
法律后果提示：
- 如果未签署协议且后续发生纠纷，双方可能需要通过法律途径解决，这可能会耗费更多的时间和精力。
- 如果签署了不合法或无效的协议，那么该协议可能无法得到法律的保护和执行，从而给双方带来不必要的损失和风险。
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