结论：给第三者打胎费用直接付给医院后，能否起诉第三者追回该费用，需根据具体情况分析，一般情况下，若该费用属于夫妻共同财产且未经配偶同意，可能可以追回；但若存在特殊情况，如费用来源非夫妻共同财产或配偶同意支付等，则可能无法追回。

分析：

1. 费用性质与来源：

   • 若打胎费用来源于夫妻共同财产，且未经配偶同意，那么支付该费用可能构成对夫妻共同财产的无权处分。在此情况下，配偶一方有权要求第三者返还该费用，因为第三者没有合法依据获得该财产。
   • 若费用来源于个人财产（如一方婚前财产或个人收入），且支付方自愿承担，那么配偶另一方可能无权要求追回。

2. 法律关系与证据：

   • 要起诉第三者追回费用，需要证明该费用确实用于了第三者的打胎，且该费用属于夫妻共同财产且未经配偶同意。这通常需要提供支付凭证、医院收费单据、夫妻财产状况证明等证据。
   • 同时，还需要证明支付方与第三者之间存在不正当关系，因为这可能影响到法院对案件性质的判断和费用的返还与否。

3. 道德与法律考量：

   • 从道德层面看，支付打胎费用给第三者可能涉及对婚姻忠诚的背叛和对家庭责任的逃避，这种行为在道德上应受到谴责。
   • 从法律层面看，虽然法律不直接调整道德关系，但会保护合法的财产权益。因此，在符合法律条件的情况下，配偶一方有权要求追回属于夫妻共同财产且未经同意支付的费用。

4. 实际操作与建议：

   • 在实际操作中，起诉第三者追回费用可能面临诸多困难，如证据收集、法律程序等。因此，在决定起诉前，应充分评估案件的可行性和胜诉的可能性。
   • 如果决定起诉，建议咨询专业律师，了解具体的法律程序和证据要求，以便更好地维护自己的合法权益。

特殊情况说明：

• 如果支付方与第三者之间存在某种协议或约定（如分手费、补偿费等），且该协议或约定不违反法律强制性规定和公序良俗，那么支付方可能无法要求追回该费用。
• 如果支付方在支付费用时明确表示放弃追回的权利，或者以其他方式表明该费用为赠与性质，那么也可能无法追回。

后续行动建议：

• 如果您面临此类情况，建议首先收集相关证据，如支付凭证、医院收费单据、夫妻财产状况证明等。
• 然后，咨询专业律师，了解具体的法律程序和证据要求，以及案件的可行性和胜诉的可能性。
• 最后，根据律师的建议和自己的实际情况，决定是否起诉以及如何起诉。

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