核心结论：您可以通过以下步骤追究出租车司机及保险公司的责任，同时保留追偿垫付费用的权利。具体操作如下：

1. 立即固定事故责任证据

• 报警并获取《交通事故责任认定书》：这是追究责任的核心依据。无论事故轻重，必须第一时间报警，由交警部门调查事故原因（如出租车是否超速、违规变道、未礼让行人等），并在10个工作日内出具责任认定书。若对责任划分有异议，可在3日内申请复核。
• 保存现场证据：用手机拍摄事故现场照片（车辆位置、刹车痕迹、道路标志等）、视频，记录出租车车牌号、司机信息及保险公司名称。

2. 明确赔偿主体及顺序

• 出租车司机及公司：根据《民法典》第1213条，若司机负全责或主责，其本人及所属出租车公司需承担赔偿责任（公司承担连带责任）。
• 保险公司：出租车必须投保交强险（最高赔20万）和商业三者险（通常50万以上）。赔偿顺序为：先由交强险赔付，不足部分由商业险补充，仍不足的由司机/公司承担。

3. 追偿您垫付的费用

• 保留所有垫付凭证：包括医疗费发票、护理费收据、交通费票据等，务必加盖医院/单位公章。
• 通过调解或诉讼追偿：
  • 调解：向交警部门申请调解，或直接联系出租车公司/保险公司协商赔偿。
  • 诉讼：若调解失败，可向法院起诉司机、公司及保险公司，要求返还垫付款并赔偿其他损失（如误工费、营养费等）。诉讼时效为3年，自事故发生日起算。

4. 关键时间节点提醒

• 治疗终结后3个月内：建议完成伤残鉴定（若构成伤残），以确定最终赔偿金额。
• 诉讼时效：务必在3年内起诉，否则可能丧失胜诉权。

5. 特殊情况处理

• 若司机逃逸或无证驾驶：保险公司可能拒赔，但您仍可直接起诉司机及公司，要求全额赔偿。
• 若老人存在过错（如闯红灯）：需按责任比例分担赔偿（如老人负30%责任，则对方仅赔70%）。

行动建议：立即联系交警部门推进责任认定，同时整理所有垫付凭证。若需进一步协助计算赔偿金额或起草法律文书，可直接向我咨询具体流程。