建设单位指派的项目负责人是否构成劳动关系，需分情况讨论：
若项目负责人与建设单位存在明确的劳动合同关系：
- 在这种情况下，项目负责人作为建设单位的员工，接受建设单位的指派去负责特定项目，这显然是劳动关系的一种体现。项目负责人会按照劳动合同的约定，享受相应的工资、福利等待遇，并接受建设单位的管理和监督。
若项目负责人与建设单位不存在劳动合同关系，而是基于其他协议或安排：
- 情况一：项目负责人以独立承包人或顾问身份参与项目：
- 如果项目负责人是以独立承包人或顾问的身份被建设单位聘请来负责项目的，那么他们之间可能不构成传统的劳动关系。此时，项目负责人可能按照与建设单位签订的协议，以完成特定任务或提供特定服务为目标，享受相应的报酬，但不受建设单位日常劳动纪律和规章制度的严格约束。
- 情况二：项目负责人通过劳务派遣或临时用工形式参与项目：
- 如果项目负责人是通过劳务派遣公司派遣到建设单位工作的，或者以临时用工的形式参与项目，那么他们与建设单位之间可能不直接构成劳动关系，而是与劳务派遣公司或临时用工单位存在劳动关系。在这种情况下，项目负责人的工资、福利等可能由劳务派遣公司或临时用工单位负责，而建设单位则负责项目的管理和监督。
法律背景与建议：
- 劳动关系认定：根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，劳动关系的认定主要基于双方是否存在劳动合同关系、是否接受用人单位的管理和监督、是否享受用人单位提供的工资和福利等。因此，在判断建设单位指派的项目负责人是否构成劳动关系时，应综合考虑上述因素。
- 建议：对于建设单位和项目负责人而言，明确双方的法律关系至关重要。如果双方希望建立劳动关系，应签订正式的劳动合同，并明确双方的权利和义务。如果双方不希望建立劳动关系，而是希望以其他形式合作，也应签订相应的协议，明确合作方式、报酬支付、责任承担等事项，以避免后续的法律纠纷。
可能的法律后果：
- 如果项目负责人与建设单位之间被认定为存在劳动关系，而建设单位未按照劳动合同法的规定履行相应义务（如未支付工资、未缴纳社会保险等），则可能面临劳动行政部门的处罚，并需承担相应的民事赔偿责任。
- 如果项目负责人与建设单位之间被认定为不存在劳动关系，而双方之间的协议或安排存在违法或违规情形（如未按照劳务派遣规定操作、未签订临时用工协议等），则也可能面临相应的法律后果。
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