结论前置：工作9年未签订劳动合同的员工被辞退，其补偿情况需根据辞退的具体原因来确定，可能涉及双倍工资赔偿、经济补偿金或赔偿金、社会保险补缴以及其他损失的赔偿。以下是对不同情形的详细分析及计算方式：

一、双倍工资赔偿

1. 法律依据：根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

2. 计算方式：

   • 劳动者最多可主张11个月的双倍工资差额（从用工满一个月的次日至满一年的前一日）。
   • 计算公式：双倍工资差额 = 月工资 × 11个月
   • 示例：若月工资为5000元，则双倍工资差额为55,000元。

3. 时效限制：需注意劳动争议申请仲裁的时效为一年，从知道或应当知道权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应在时效期内提出主张，以免权益受损。

二、经济补偿金与赔偿金

1. 正常解除劳动关系：

   • 若用人单位合法解除劳动关系（如员工存在过错或双方协商一致），则按工作年限，每满一年支付一个月工资作为经济补偿金。
   • 计算公式：经济补偿金 = 月工资 × 工作年限（9年）
   • 示例：若月工资为5000元，则经济补偿金为45,000元。

2. 违法解除劳动关系：

   • 若用人单位违法解除劳动关系（如无合法理由辞退员工），则需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
   • 计算公式：赔偿金 = 经济补偿金 × 2 = 月工资 × 工作年限 × 2（9年）
   • 示例：若月工资为5000元，则赔偿金为90,000元。

3. 月工资定义：月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若月工资高于当地职工月平均工资三倍，则按三倍数额及最高十二年标准支付（本案例中不涉及此上限）。

三、视为已订立无固定期限劳动合同

• 用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同。即便如此，用人单位仍需承担违法解除等相应责任。

四、补缴社会保险

• 用人单位有义务为劳动者缴纳社会保险。未缴纳期间，劳动者有权要求补缴。
• 若因未缴纳社保导致劳动者遭受损失（如无法享受医保待遇），用人单位应承担赔偿责任。

五、其他损失赔偿

• 劳动者若因未签订劳动合同而遭受其他损失（如工伤待遇损失），同样有权要求用人单位赔偿。

六、维权建议

1. 证据收集：劳动者应收集能证明劳动关系存在的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录等，以备维权之需。
2. 时效意识：务必在劳动争议申请仲裁的一年时效期内提出主张，避免权益受损。
3. 法律途径：
   • 首先尝试与用人单位协商。
   • 协商不成时，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
   • 对仲裁结果不服，还可向人民法院提起诉讼，以维护自身合法权益。

总结与提醒：工作9年未签订劳动合同的员工被辞退，其补偿情况复杂多样，需根据具体情形来确定。在维权过程中，劳动者应充分了解自己的权益，积极收集证据，并在法定时效内通过合法途径主张权利。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。