结论：孩子住校期间洗漱时衣架断了伤到手，学校是否有责任需根据具体情况判断，主要看学校是否尽到了相应的管理职责。以下从不同角度进行分析：
一、学校责任的一般原则
根据《中华人民共和国民法典》第一千二百条：“限制民事行为能力人在学校或者其他教育机构学习、生活期间受到人身损害，学校或者其他教育机构未尽到教育、管理职责的，应当承担侵权责任。” 这意味着，如果学校在管理上存在疏忽或过错，导致学生受伤，学校应当承担相应的责任。
二、具体情境分析
衣架的质量问题：
- 如果衣架是学校提供，且存在质量问题（如老化、损坏等），导致断裂伤人，这可以视为学校未尽到对设施设备的安全管理职责，学校应当承担责任。
- 如果衣架是学生自带，且学校没有明确规定禁止使用自带衣架，那么衣架的质量问题通常不视为学校的责任。但学校若发现衣架存在安全隐患而未及时制止或提醒，也可能承担一定责任。
学校的安全教育和管理：
- 学校是否对学生进行过安全教育，包括如何正确使用洗漱设施、避免使用有安全隐患的物品等。如果学校未进行此类教育，可能视为未尽到教育职责。
- 学校是否定期检查洗漱设施的安全性，包括衣架、水龙头、洗漱台等是否稳固、无损坏。如果学校未进行定期检查或检查不细致，导致安全隐患未被发现，学校可能承担责任。
事故发生的具体环境：
- 事故发生时，学校是否有老师在场进行监管。如果老师在场但未及时采取措施防止事故发生或减轻伤害，学校可能承担一定责任。
- 事故发生后，学校是否及时采取了救助措施，如送医治疗、通知家长等。如果学校未及时救助，可能加重其责任。
三、建议与后续行动
收集证据：
- 保留好医疗记录、照片、视频等证据，证明孩子受伤的事实和程度。
- 收集目击者证言，了解事故发生的具体经过。
- 如果可能，保留断裂的衣架作为物证。
与学校沟通：
- 与学校管理层或相关负责人沟通，了解学校对此事的态度和处理意见。
- 要求学校提供事故发生时的监控录像（如果有的话）以查明事实真相。
寻求法律帮助：
- 如果与学校沟通无果或学校拒绝承担责任，可以考虑寻求法律帮助。
- 作为专业律师，我可以根据具体情况为你提供法律咨询和诉讼服务，帮助你维护孩子的合法权益。
最后，每个案件都有其独特性，具体责任划分需根据实际情况和证据来判断。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。