未履行法定职责的申请复议期限，通常为自知道或者应当知道该不作为行为之日起六十日内，但法律规定的申请期限超过六十日的除外。以下是对这一问题的详细解析：
一、一般原则
根据《中华人民共和国行政复议法》第二十条的规定，公民、法人或者其他组织认为行政行为侵犯其合法权益的，包括行政机关不履行法定职责的情形，可以自知道或者应当知道该行政行为（或不作为行为）之日起六十日内提出行政复议申请。这是行政复议申请期限的一般原则。
二、特殊判断与起算点
对于行政机关不履行法定职责这种不作为的情况，虽然法律没有直接规定起算点的具体细节，但可结合一般原则进行理解，并考虑以下特殊情形：
有明确履行期限：若法律、法规、规章或其他规范性文件对行政机关履行法定职责有明确的期限规定，行政机关超过该期限仍未履行职责的，从申请人知道或应当知道该不作为行为之日起计算行政复议申请期限（原则上六十日）。例如，若行政机关明确告知申请人在30个工作日内会给出审批结果，但期限届满后未履行，则从30个工作日届满且申请人知晓之日起开始计算60日的申请期限（若法律无特别规定）。
无明确履行期限：若无法律、法规、规章或其他规范性文件对行政机关履行法定职责的期限作出明确规定，且行政机关也未明确告知申请人履行期限的，则从申请人知道或应当知道行政机关不履行法定职责之日起计算申请期限。这种情况下，申请人可能需要根据行政机关的常规处理流程、行业惯例或合理预期来判断“知道或应当知道”的时间点。
紧急情况：在紧急情况下，如公民遭遇正在发生的暴力侵害向公安机关求救而公安机关无故拖延不出警，此时虽无明确“知道不作为”的时间点，但申请人可基于紧迫性立即申请行政复议，不受六十日限制（但需注意后续可能需补充证明材料说明紧急情况及知道不作为的合理性）。
三、期限延长与特殊情况
期限延长：因不可抗力或者其他正当理由耽误法定申请期限的，申请期限自障碍消除之日起继续计算。这确保了申请人在面临不可抗拒因素或合理障碍时，仍有机会维护自己的合法权益。
未告知复议权利与期限：若行政机关作出行政行为（包括不作为）时，未告知公民、法人或者其他组织申请行政复议的权利、行政复议机关和申请期限的，申请期限自公民、法人或者其他组织知道或者应当知道申请行政复议的权利、行政复议机关和申请期限之日起计算，但是自知道或者应当知道行政行为内容之日起最长不得超过一年。
四、地区性规定与实际操作建议
需要注意的是，不同的地区或特定的行政法规也可能对行政复议申请期限有特别的规定。因此，在实际操作中，我建议你：
了解地区性规定：在申请行政复议前，先了解当地是否有特别的行政复议申请期限规定。
及时行使权利：无论何种情况，都应在规定的期限内提出行政复议申请，以免因逾期而丧失救济权利。
保留证据：在申请行政复议时，应提供充分的证据证明行政机关存在不履行法定职责的行为，以及自己知道或应当知道该不作为行为的时间点。
如果你在行政复议申请过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供专业、全面的法律建议。