结论：在国办小学任教11年的老师能否被辞退，并非由单一的任教年限决定，而是需要依据具体的辞退原因、程序以及相关法律法规的规定来综合判断。以下从不同角度进行详细分析：

1. 合法辞退的情形：

   • 严重违反规章制度：如果老师严重违反了学校的规章制度，如长期旷工、严重失职、营私舞弊给学校造成重大损害等，学校有权依据《劳动合同法》第三十九条的规定，解除与老师的劳动合同，即辞退老师。这种情况下，任教年限不是决定因素。
   • 不能胜任工作且培训或调岗后仍不能胜任：如果老师不能胜任教学工作，经过培训或者调整工作岗位后，仍不能胜任的，学校可以依据《劳动合同法》第四十条的规定，提前三十日以书面形式通知老师本人或者额外支付老师一个月工资后，解除劳动合同。但在此情况下，学校需要承担举证责任，证明老师确实不能胜任工作，并且已经进行了培训或调岗。
   • 客观情况发生重大变化：如果因劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，且经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的，学校也可以依据《劳动合同法》第四十条的规定解除劳动合同。但这种情况较为特殊，且需要学校承担举证责任。

2. 违法辞退的情形及后果：

   • 无合法理由辞退：如果学校没有合法理由，仅以任教年限为由辞退老师，或者辞退程序不合法（如未提前通知、未支付经济补偿等），则构成违法辞退。
   • 违法辞退的后果：根据《劳动合同法》第四十八条和第八十七条的规定，老师有权要求学校继续履行劳动合同或者支付赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍，经济补偿按老师在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向老师支付。因此，对于任教11年的老师，如果被违法辞退，学校可能需要支付相当可观的经济赔偿。

3. 特殊保护情形：

   • 女职工在孕期、产期、哺乳期的保护：如果老师是女职工，且在孕期、产期、哺乳期内，学校不得依据《劳动合同法》第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这是法律对女职工的特殊保护。
   • 在本单位连续工作满十五年且距法定退休年龄不足五年的保护：如果老师在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年，学校也不得依据《劳动合同法》第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。但这一规定并不适用于所有情况，且需要老师满足特定的条件。

建议：

• 对于老师而言，如果面临被辞退的情况，应首先了解辞退的原因和程序是否合法，并保留好相关证据。如果认为辞退不合法，可以及时向劳动仲裁机构申请仲裁，维护自己的合法权益。
• 对于学校而言，在辞退老师时应严格遵守相关法律法规的规定，确保辞退的合法性和合理性。避免因违法辞退而承担不必要的法律责任和经济赔偿。

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